对于传统性对数学函数极限动大手术把传统性极限定义润色上升改为判定定理

前言:数学里函数f(x)极限的传统性的定义是:函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x),当x→x0时的极限。
我们知道凡是学习过函数的上述极限时,都感到有诸如以下许多困惑:①不知道这个常数A是已知数还是未知数?②不知如何去求这个正数?③不知|f(x)-A|<ε这个不等式代表着什么?④传统定义是:使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时,对应的函数值f(x)都满足于不等式|f(x)-A|<ε。这是一种倒叙形式。学生很难懂,很不理解。其实0<|x

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-x0|<δ就是不等式|f(x)-A|<ε的解。所谓δ就是从这个不等式解出来的。⑤此前所学过的有关定义都是不太长的文字叙述,而这个极限定义文字叙述太冗长,长达近百字,不习惯,不容易用这个冗长的定义去判定某数A是某函数f(x)极限。⑥传统性定义中的字母用的是希腊字母ε和δ,学生不习惯。作者就是回避以上困惑之处,从而有意把过去极限传统性的定义通过润色改为判定定理,这样操作起来就方便多了。
此前高中阶段鉴于极限教学有困难,干脆回避了极限而停顿不搞。建议用我的文稿纳入到高中教材中去。
数学极限的严密定义教者与读者都感到困难,为此,作者从定义本身结构进行大手术的改进,请看:

1 对极限概念的认识

观查数列0.9、0.99、0.999,…,1-…(皆小于1),及列数1.1、1.01、1.001,…,1+…(皆大于1),随着项数n的增大,f(n)越来越接近于数值1,但就不等于1,这好似f(n)的极大(小)值限制是1,到此能否说f(n)的极大或极小的限制呢?
再观查一例,数列f(n)=1+,n∈N+的情况。
列表:例如n=5,f(5)=1+=1-==0.8余类推,得如下列表(一):
列表(一)
画图(尺寸不合比例,只是模拟而已)得图(一)
图(一)
从以上图(一)和列表(一)可以明显地看出,随着数列项数n的增大,f(n)的值忽而小于1忽而大于1的越来越接近于数值“1”,所以不能把数值“1”说成是数列f(n)的极大(小)的限制了,但是我们抓住以上三个例子它们的共同性质是随着项数n的增大,它们的函数值越来越接近数值“1”,但就是不等于数值“1”(因为若1+=1,所以有=0,(-1)n=0矛盾)。
现在我们研究f(n)与“1”之间的距离f(n)-1随着n的增大其变化情况如下表(二):
从列表(二)的第三横行我们可能以随便看到当n=101时,|f(n)-1|=|f(101)-1|=1+-1=≈0.01,……,并且进一步地看到随着数列项数n的增大,|f(n)-1|越来越小,|f(n)-1|越来越接近于数值“0”,现在反过来问,若令|f(n)-1|小于某个很小的正数例如小于0.001,看看能否计算出数列相应之项数n的情况呢?这很简单,那就是解不等式|f(n)-1|<0.001,1+-1<0.001,<0.001,<,10002 数列极限的初步概念 上面的不等式|f(n)-1|<0.001,里面若把这里的0.001换成任意小的正数L,情况应该如何?请看解不等式|f(n)-1|图(二)
从上面图(二)出发,以直线y=1做为中轴线向上、向下各延伸L单位作总宽度为2L的、长度为足够长的一个长方形长条带形,令=a,对于上述0以上这些点被严密地有序地凝聚在中轴线y=1的上下旁,好似被上述长条带形和中轴线极其严密地控制和限制着,极其严密控制限制→极其严密限制→极限,顾名思义我们把中轴线y=1称为数列f(n)=1+的极限位置,或把“1”叫做数列f(n)=1+的极限。
抛开以上具体数列,对于一般数列f(n),n∈N+,我们有以下数列极限定义。

3 数列极限的定义

已知数列f(n),n∈N+,又已知一个常数A,若随着项数n的任意无限制地增大,f(n)任意无限制地接近于A,那么A就叫做数列f(n)的极限。

4 数列极限的判定定理

现在我们把以上关系进一步的梳理如下:(以下符号?圳理解为“等同于”)
图(1) 图(2)
图(3)图(4) 图(5)
我们看上面5个图形是等同的(等价的),所以上面图(1)与图(5)也是等同的,因此图(1)中的“f(n)”与数1的距离不等式|f(n)-A|<任意小”与形如“a定理1:已知数列f(n),n∈N+,又已知一个常数A,对于任意小的正数L,若都能从f(n)与A的距离|f(n)-A|相关不等式|f(n)-A|源于：论文的基本格式www.udooo.com