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摘要：上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanpnna以亚纯函数为探讨对象,引入了特点函数的概念并且建立了著名的Nevanpnna论述,它被认为二十世纪最伟大的数学成就之一。Nevanpnna论述包括两个基本定理,即Nevanpnna第一基本定理和Nevanpnna第二基本定理,并且后者显著地推广Picard小定理。Nevanpnna论述不仅是经典函数论进展史上的一个里程碑,而且还标志着现代亚纯函数论述的开端。现在,Nevanpnna论述广泛地运用于亚纯函数唯一性、正规族、复微分方程、复动力系统等领域的探讨中。最近在文章[11]和[18]中,作者分别独立估计了均值函数m(r,f(z+c)/f(z)),其中函数f(z)为有穷级亚纯函数。这个结果可以看做是离散情形下的对数导数引理的对应形式。在此基础上,许多学者探讨了涉及差分形式的值分布不足。正规族论述是复浅析论述中的一个重要分支。正规族的概念是由P.Montel于1907年给出,它不仅与值分布论述结合紧密,也在近年来比较活跃的复动力系统探讨中有重要运用。正规族探讨的主要目标是寻找正规定则,Bloch原理在其中起着重要的指导作用,尽管它一般而言并不成立。中国的学者们,如：杨乐,张广厚,顾永兴,陈怀惠,庞学诚等对正规族论述的推动和进展做出了许多卓越性的贡献。近些年来,特别是将Pang-Zalcman引理以及分担值的思想引入正规族探讨之后,亚纯函数的正规族论述探讨变得非常活跃,很多杰出的成果为数学家们所获得。本论文中,我们得到了关于亚纯函数差分多项式值分布不足的一些结果,并且探讨了涉及分担微分多项式和全纯函数的正规族不足。论文的结构安排如下：在第一章中,我们简单介绍了Nevanpnna论述、涉及差分形式的Nevanpnna论述和亚纯函数正规族论述。在第二章中,我们利用经典的唯一性中零点和极点浅析的策略,探讨了亚纯函数差分多项式的值分布不足。之前涉及差分形式的值分布不足基本是在整函数范围内讨论,我们考虑了亚纯函数时的情形并得到下列结果：定理0.1.检测设f是一个有穷级亚纯函数,s(z)为f(z)的小函数。令P(z)是一个多项式,m是集合{z：P(z)=0}的势且满足deg(P(z))-m3,则P(f(z))+f(z+c)-s(z)至少有一个零点。若f是超越亚纯函数,则P(f(z))+f(z+e)-s(z)有无穷多个零点。定理0.2.检测设f是一个有穷级超越亚纯函数,不以c≠0为周期,s(z)是f(z)的小函数。令P(z),m如定理0.1中所述。若deg(P(z))-m4,则P(f(z))+f(z+c)-f(z)-s(z)有无穷多个零点。我们同样探讨了亚纯函数涉及q差分形式的值分布不足,得到：定理0.3.检测设f是一个零级的亚纯函数,q∈C\{0},s(z)是函数f的小函数。多项式P(：)如定理0.1中的定义。则P(f(z))+f(qz)-s(z)至少有一个零点。若f是一个超越亚纯函数,则P(f(z))+f(qz)-s(z)有无穷多零点。在第三章中,我们探讨了涉及分担微分多项式的亚纯函数正规族不足,并改善了雷春林和方明亮(见[32])的结果。实际上,我们证明了如下结果：定理0.4.检测设k是一个正整数,F是区域D内的亚纯函数族且满足所有函数的零点重数不小于k,令P=apzp+…+a2z2+z是一多项式且ap,a2≠0;p=deg(P)≥k+2.若对任意的f,g∈F都有P(f)G(f)和P(g)G(g)在D内IM分担非零常数b,其中G(f)=f(k)+H(f)是满足条件ω/(deg)|H≤k/(l+1)+1或者w(H)-deg(H)k的微分多项式。则F在D内正规。定理0.5.检测设是是一个正整数,F是区域D内的亚纯函数族且满足所有函数的零点与极点的重数分别大于等于k和2,令P(z)是一至少具有两个不同零点的多项式。若对任意的f,g∈F都有P(f)G(f)和P(g)G(g)在D内IM分担常数b,其中G(f)=f(k)+H(f)是满足条件w,(H)-deg(H)k的微分多项式。则F在D内正规。在第四章中,我们探讨涉及分担全纯函数的亚纯函数正规族不足,这些工作改善了方明亮、常建明(见[13])和夏吉英、徐焱(见[57])等的结果。定理0.6.检测设F是区域D内的亚纯函数族,ψ(≠0),a0,a1…,ak-1是全纯函数,且k是正整数。若对于任意的函数f∈F在区域D上都满是f≠0,P(f)=f(k)+ak-1f(k-1)+...+a1f'+a0f≠0以及对任意的函数f,g∈F有P(f)和P(g)IM分担ψ。则F在D上正规。关键词：亚纯函数论文整函数论文分担值论文正规族论文差分论文有穷级论文
摘要6-9
ABSTRACT9-12
第一章 预备知识12-20
§1.1 Nevanpnna论述的基础知识12-14
§1.2 亚纯函数唯一性论述14-15
§1.3 亚纯函数正规族论述15-18
§1.4 涉及差分形式的Nevanpnna论述18-20
第二章 涉及差分形式的值分布不足探讨20-34
§2.1 引言及主要结果20-24
§2.2 主要引理24-26
§2.3 定理2.1的证明26-29
§2.4 定理2.2的证明29-32
§2.5 定理2.5 的证明32-33
§2.6 不足与展望33-34
第三章 涉及分担值的亚纯函数正规族的探讨34-46
§3.1 引言及主要结果34-37
§3.2 主要引理37-40
§3.3 定理3 .3 的证明40-43
§3.4 定理3.1的证明43-46
第四章 分担全纯函数的正规族不足46-58
§4.1 引言及主要结果46-49
§4.2 主要引理49-53
§4.3 定理4.1的证明53-58