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一道值得探究对称不等式

收藏本文 2024-03-23 点赞:5140 浏览:18561 作者:网友投稿原创标记本站原创

摘要:本文主要对一个对称不等式(已知a,b都为正数,且满足a+b=1,则有a进行变式探究,并利用均值不等式进行适当的推广.
关键词:探究;对称不等式;变式
题目:已知a,b都为正数,且满足a+b=1,则有a+b+≥.
分析:初看不等式,大家一定都会有一种似曾相识的感觉,因为不等式左边的两个因式都是两互倒数之和. 而当a为正数时,a+≥2=2,这是中学数学必须掌握的重要不等式. 若用这种思路发现左边是大于等于4的,原不等式不能得到证明. 原因何在?我们注意到对原不等式左边两项直接用均值不等式取等号的条件为a=和b=,即a=b=1. 而条件限制了a+b=1,故原不等式左边两项用均值不等式不能同时取上等号. 因此,此路不通!我们知道当面对变量少而形式又简洁的不等式证明束手无策时,可以拿出此类不等式证明的通法——分析法. 分析法是中学数学证明不等式的基本而又重要的方法. 下面我们用分析法证明此不等式.
证:欲证原不等式,只需证
4(a2+1)(b2+1)≥25ab.
展开,移项得4a2b2+4a2+4b2+4-25ab≥0.
又因为a+b=1,即a2+b2=1-2ab,
故只要证4a2b2-33ab+8≥0.
又0设f(x)=4x2-33x+80故原不等式成立.
若将此题改为
变式1:已知a,b都为正数,且满足a+b=1,求a+b+的最小值.
分析:此时显然若用分析法去求最值已经无能为力了. 这种情况下,学生就容易错解成其最小值为4.此时我们只能改变解题思路了,对于分式我们基本考虑通分变形,解答如下:
解:通分有a+b+=.
又因为a+b=1,即a2+b2=1-2ab,故原式==ab+-2.
又0而函数f(x)=x+(x>0)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增.
显然原式当ab=时取得最小值,易求得最小值为.
变式2:已知a,b,c都为正数,且满足a+b+c=1,求a+b+c+的最小值.
分析:此时,显然用分析法和转化为函数最值法已经显得非常复杂了,那么我们能否有新的证明方法呢?我们知道变式1当且仅当a=b=时取上最小值,可以猜测变式了应该是a=b=c=取上最小值. 于是,我们考虑利用拆项法结合均值不等式取等号的条件进行证明.
解:由于a,b,c都为正数,故对该式第一项进行拆项后运用均值不等式可得,a+==≥==,
当且仅当a2=即a=时取上等号;
同理可得
b+≥,当且仅当b2=即b=时取上等号;
c+=,当且仅当c2=即c=时取上等号.
又因为abc≤3=,当且仅当a=b=c=时等号成立.
将以上三个不等式相乘可得
a+b+c+≥??=≥≥1000×3-3=,
当且仅当a=b=c=时以上所有不等式等号成立.
故所求式子的最小值为.
类似变式2的求解可以推广得到如下:
定理:已知a1,a2,…,an都为正数,且满足a1+a2+…+an=1,则有a1+?a2+…an+≥n+n,当且仅当a1=a2=…=an=等号成立.
证:原不等式等价于
…≥n+n.
由于a1,a2,…,an都为正数,故有

摘自:学术论文格式www.udooo.com

=≥== ,
当且仅当a=即a1=时上式等号成立;
同理可得
≥,当且仅当a2=时等号成立;
≥,当且仅当a3=时等号成立;
……
≥,当且仅当an=时等号成立.
又a1a2…an≤n=n,当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立,于是将以上n个不等式相乘可得
…≥??…?=≥==(n2+1)n(n)-n=n+n.
当且仅当a1=a2=…=an=时,以上所有不等式同时取等号,
于是不等式得证.

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