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数学新课程改革已经有些年头了，许多方面都取得了较好的效果。但是老师们发现了一个共同的问题，就是学生在数学习题中的“错误”与实施新课程改革前相比较，呈现出了“多样化”的特点，而且错误率也呈现出上升的趋势。这是一个比较普遍的现象，几乎所有初中数学教师都遇到了这样的问题，而且教师们也知道要使学生不出现错误是很困难的。为此，笔者认为最重要的是教师如何利用学生的这些“错解”来培养学生学习数学的能力。如何来帮助学生纠正这些错误，并在“错题”分析的过程中培养学生学习数学的能力。笔者在教学中进行了一些尝试，下面谈一些做法与粗浅的体会：
例：解下列方程：
学生解题过程：原方程可化为
即x（x+1）-2（x-1）=4
整理得：x1=2， x2=-1.
∴原方程的解是x1=2， x2=-1
这是一个几乎所有初中数学教师都会遇到的问题，但大多数学教师可能只会告诉学生这是分式方程，解出未知数的值后要检验。但是老师们可能不会引导学生去思考为什么解分式方程会产生增根，所以就会出现学生重复犯错，教师重复强调的局面.因为学生是只知其然而不知其所以然。教师可以这样引导学生思考：
（1）方程两边乘了怎样一个整式？（（x-1）（x+1） ）这个整式的值能不能为零？（不能）
（2）当x为何值时，整式（x-1）（x+1）的值为零？（x=1或-1）
（3）解原方程所得的哪个根能使（x-1）（x+1）的值为零？（x=-1）
（4）那么x=-1是不是原方程的根？（不是）
经过这样的思考，学生就会明白了分式方程化为整式方程后，未知数的取值范围被扩大，这个扩大的过程中会产生增根，所增之根恰是使所乘整式等于0的未知数的值，从而在学生头脑中牢固建立了方程两边同乘以不为0的数或整式，新方程与原方程同解的概念。
例如：如图，已知AB∥CD，分别探索下面三个图形中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系。
这是一道探索题，学生的错误率很高，教师在分析时，可设置下列辅助问题让学生回答：
（1）题中的已知条件是什么？（AB∥CD）
（2）要我们探索的是哪几个角的关系？（∠APC与∠PAB，∠PCD）
（3）平行线通常和那三类角有关？（同位角，内错角，同旁内角）
（4）那么要出现上述这三类角，必须有怎样的一个图形？（两条直线被第三条直线所截）
（5）那么请观察图1，图中缺的是哪一条直线
至此，水到渠成，学生很自然就能想到连结AC，构成一对同旁内角，再利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可得出∠APC与∠PAB，∠PCD的关系。（∠APC+∠PAB+∠PCD=360°）当然可以在此基础上，可以让学生思考有没有其他的方法，（过点P作AB的平行线也可以构成两条直线被第三条直线所截的图形；再如可延长AP和DC的延长线交于一点，也能构成我们想要的图形，使问题得到解决）这样有助于拓宽学生的思路，对培养学生的思维能力很有好处。
若关于 x的方程（m2-1）x2-2 （m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
下面是一个学生的解答过程
解：△=[-2（m+2）]2-4（m2-1） =16 m+20
∵ △≥0 ∴ 16 m+20≥0，∴ m≥-1.25
又 ∵ m2-1≠0，∴ m≠±1
∴ m的取值范围是m≠±1且m≥-1.25
教师请同学们观察判断，上述解答是否正确？若不正确，分析错误原因。
经同学们讨论辨析，指出此题的错因，此题关键是没有限定方程的次数，可能是一元二次方程也可能是一元一次方程，所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时，即m=±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根，所以此题正解为m≥-
俗话说：“失败乃成功之母”，教师要允许学生出错.学生所犯的错误及其对错误的认识，是学生知识宝库的重要组成部分。教师应该把学生的错误作为一种促进学生情感、发展、智力发展的教育资源，我们教师可以机智、灵活地引导学生从不同的角度去分析 ，训练学生思维的灵活性与创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度，全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这对培养学生的数学能力大有裨益。
一、追溯原因，培养钻研能力
教师在分析错误时，不应只告诉学生这样做是错的，怎么做是正确的。更重要的是应该引导学生去思考为什么这么做是错误的，就是要让学生知其然还要知其所以然。在思考过程中学生会体会到学习数学不能靠机械的记忆，要找到根本的原因，这在无形中也培养了学生的钻研能力。现举例如下：例：解下列方程：
学生解题过程：原方程可化为
即x（x+1）-2（x-1）=4
整理得：x1=2， x2=-1.
∴原方程的解是x1=2， x2=-1
这是一个几乎所有初中数学教师都会遇到的问题，但大多数学教师可能只会告诉学生这是分式方程，解出未知数的值后要检验。但是老师们可能不会引导学生去思考为什么解分式方程会产生增根，所以就会出现学生重复犯错，教师重复强调的局面.因为学生是只知其然而不知其所以然。教师可以这样引导学生思考：
（1）方程两边乘了怎样一个整式？（（x-1）（x+1） ）这个整式的值能不能为零？（不能）
（2）当x为何值时，整式（x-1）（x+1）的值为零？（x=1或-1）
（3）解原方程所得的哪个根能使（x-1）（x+1）的值为零？（x=-1）
（4）那么x=-1是不是原方程的根？（不是）
经过这样的思考，学生就会明白了分式方程化为整式方程后，未知数的取值范围被扩大，这个扩大的过程中会产生增根，所增之根恰是使所乘整式等于0的未知数的值，从而在学生头脑中牢固建立了方程两边同乘以不为0的数或整式，新方程与原方程同解的概念。
二、点拨思路，培养思维能力
发展学生的思维能力是培养学生能力、发展学生智力的核心。教师对“错题”的分析应该有利于学生思维能力的培养，成为学生解决问题的向导。分析时，教师的任务并不是将现成的解法直接讲述给学生，更不能越俎代庖，代替学生思考，而是应该找出学生疑问症结所在、充分利用学生急于想得到答案的思维最佳时机，给予恰当的点拨、启发.教师的分析起到温故知新、扫除障碍、清理思路的作用，使学生最终自己得出答案。例如：如图，已知AB∥CD，分别探索下面三个图形中，∠APC与∠PAB，∠PCD的关系。
这是一道探索题，学生的错误率很高，教师在分析时，可设置下列辅助问题让学生回答：
（1）题中的已知条件是什么？（AB∥CD）
（2）要我们探索的是哪几个角的关系？（∠APC与∠PAB，∠PCD）
（3）平行线通常和那三类角有关？（同位角，内错角，同旁内角）
（4）那么要出现上述这三类角，必须有怎样的一个图形？（两条直线被第三条直线所截）
（5）那么请观察图1，图中缺的是哪一条直线
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？（第三条直线：指截线）那应该怎样添辅助线？至此，水到渠成，学生很自然就能想到连结AC，构成一对同旁内角，再利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可得出∠APC与∠PAB，∠PCD的关系。（∠APC+∠PAB+∠PCD=360°）当然可以在此基础上，可以让学生思考有没有其他的方法，（过点P作AB的平行线也可以构成两条直线被第三条直线所截的图形；再如可延长AP和DC的延长线交于一点，也能构成我们想要的图形，使问题得到解决）这样有助于拓宽学生的思路，对培养学生的思维能力很有好处。
三、引导反思，培养批判能力
“错题”往往是认知结构的断链处，影响后继课程的学习，又是提高元认知能力的最佳契机。教师可以要求学在“错题”旁写出自己出错的原因，及从中得到的经验和体会。这既是对解题思路补充的反思，又是元认知的落实。从易错点切入引导学生进行反思，错后反思是防止以后再错的良方。现举例如下：若关于 x的方程（m2-1）x2-2 （m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
下面是一个学生的解答过程
解：△=[-2（m+2）]2-4（m2-1） =16 m+20
∵ △≥0 ∴ 16 m+20≥0，∴ m≥-1.25
又 ∵ m2-1≠0，∴ m≠±1
∴ m的取值范围是m≠±1且m≥-1.25
教师请同学们观察判断，上述解答是否正确？若不正确，分析错误原因。
经同学们讨论辨析，指出此题的错因，此题关键是没有限定方程的次数，可能是一元二次方程也可能是一元一次方程，所以在解题时就必须考虑m2-1=0和m2-1≠0两种情况。当m2-1=0时，即m=±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根，所以此题正解为m≥-
1.25 。
教师在教学中应有这样的认识：学生的错误是有利于学生的学习的。教师不应要求学生一开始就什么都能理解，要注意循序渐进.当学生出现错误后，教师应注重引导学生进行错后反思，因为在反思的过程中学生会分析原来做法的正确性.长此以往，学生的批判能力就会得到很大的提高。俗话说：“失败乃成功之母”，教师要允许学生出错.学生所犯的错误及其对错误的认识，是学生知识宝库的重要组成部分。教师应该把学生的错误作为一种促进学生情感、发展、智力发展的教育资源，我们教师可以机智、灵活地引导学生从不同的角度去分析 ，训练学生思维的灵活性与创造性，利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度，全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这对培养学生的数学能力大有裨益。