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高中数学相对于其他学科，拥有较强的逻辑性与规律性，这时数学方法的运用就显得尤为重要，就思维惯性而言，解决问题往往从正面入手，然而难免会遇到一些思维障碍或者困难，这时就需要另辟蹊径，从逆向思维的角度来对待问题，而反证法作为典型数学解决问题的方法之
证明：命题A成立.
这时可以首先检测设：此命题A不成立（命题A的条件不变），
这时根据命题A不成立，往往会得到一个反命题C（一个或者多个），由反命题C而推出结论B，结论B很显然是矛盾或者错误的（根据某个正确的定理或者结论）.
由此可以证明：检测设并不成立，或者检测设是错误的.
从而得出：命题A得证.
反证法的运用有一套规律的模式和方法可循，一般来说顺序可以归纳为先否定——然后推理——根据推理得出结论——发现结论的不合理——肯定原命题.这种命题的证明过程也是一个否定之后再否定的过程，利用正确的推导过程来得出矛盾，利用正确的理论来否定这个矛盾，进而肯定最初始的命题，所以也叫做“否定中的否定”.
概括地说，反证法的证明规律分为以下三个步骤：结论否定→得出矛盾→承认结论.
具体过程如下：
（1）检测设：检测定要证明的命题或者结论不正确，或者列出一个相反的检测设.
（2）推导：利用上文检测设或者反设的条件来进行推导和证明，进而得出一个新的结论.
（3）结果：发现新结论的不成立，进而肯定原命题或者结论的正确性.
值得注意的是，反正法的运用过程中，必须而且一定要有“反设”的存在，这有对求证命题进行相反检测设，才是真正意义上的反证法.其中反证法有在命题有两种情况存在时则需要区别对待；唯一性即命题的只存在一个反面结论，则只需要将这个反设即可；多元性.即结论的反设有多种，这是需要将这些反面的结论一一，只有这样原命题才能得证，这种方法也可以叫做列举法.
例1 若a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三个数不可能同时大于14.
证明：检测设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于14，由于a，b，c都是小于1的正数，则有
32<（1-a）b+（1-b）c+（1-c）a<（1-a）+b2+（1-b）+c2+（1-c）+a2=32
得出矛盾，故原命题成立.
例2 不存在自然数x、y，使得x的平方加y和y的平方加x都为完全平方数.
证明：检测设存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
即存在正整数m，n，使得：
x2+y=m2①
y2+x=n2②
由于x，y，m均为正整数，则m≥x+1③
欲证明②式不成立，只需证明y2+x<（y+1）2，即不存在n使②式成立.
y=m2-x2，代人即证（m2-x2）2+x<（m2-x2+1）2=>x<2m2-2x2+1.
由③式得2m2-2x2+1≥2（x+1）2-2x2+1=4x+1>x.
当①式成立时，不存在n使②式成立，即①②两式不能同时成立.
也就是不存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
对这种有关唯一性的证明题型，如果直接证明则往往没有反证法效率高，因此在解决此种问题时大多会采用反证法来证明.
例3 求证：方程3x=17的解是唯一的.
分析：可以通过检测设存在两个解，得出矛盾.
由对数的定义易得，方程的一个解是x1=log317.
检测设还存在一个解x2，且（x2≠x1），则有3x2=17.
因为3x1=17，即3x23x1=
当时x2-x1>0，3x23x1>
总之，反证法是逆向思维的一种直接反映，是相对于惯性思维而存在的不同的数学思维方法，这种思维的形成有利于学生打破思维惯性，拓宽思维视野，体验到数学方法和方式的多元化和多样性.而学生的推理能力和逻辑能力也会在反证法的锻炼中得到加强，同时反证法也有利于学生培养自己独立发现问题、提出问题并解决问题的能力，并在这种锻炼形式中获得解决实际生活问题的新模式，为以后的学习和生活产生可持续性的影响.
一、在几何和数论中的运用尤为广泛.
一、“反证法”概述
一般情况下，反证法可以这样解释：证明：命题A成立.
这时可以首先检测设：此命题A不成立（命题A的条件不变），
这时根据命题A不成立，往往会得到一个反命题C（一个或者多个），由反命题C而推出结论B，结论B很显然是矛盾或者错误的（根据某个正确的定理或者结论）.
由此可以证明：检测设并不成立，或者检测设是错误的.
从而得出：命题A得证.
反证法的运用有一套规律的模式和方法可循，一般来说顺序可以归纳为先否定——然后推理——根据推理得出结论——发现结论的不合理——肯定原命题.这种命题的证明过程也是一个否定之后再否定的过程，利用正确的推导过程来得出矛盾，利用正确的理论来否定这个矛盾，进而肯定最初始的命题，所以也叫做“否定中的否定”.
概括地说，反证法的证明规律分为以下三个步骤：结论否定→得出矛盾→承认结论.
具体过程如下：
（1）检测设：检测定要证明的命题或者结论不正确，或者列出一个相反的检测设.
（2）推导：利用上文检测设或者反设的条件来进行推导和证明，进而得出一个新的结论.
（3）结果：发现新结论的不成立，进而肯定原命题或者结论的正确性.
值得注意的是，反正法的运用过程中，必须而且一定要有“反设”的存在，这有对求证命题进行相反检测设，才是真正意义上的反证法.其中反证法有在命题有两种情况存在时则需要区别对待；唯一性即命题的只存在一个反面结论，则只需要将这个反设即可；多元性.即结论的反设有多种，这是需要将这些反面的结论一一，只有这样原命题才能得证，这种方法也可以叫做列举法.
二、解决“不可能同时”或者“至少存在”命题
在解决几何数学的问题中，往往会遇到这样的证明题：证明这种图形的某种特征的不唯一性或者至少有一个满足条件，这时如果从正面直接入手，往往很难找到匹配的理论依据，证明过程也会陷入瓶颈，反证法在这种情况下便能很方便地对这个结论进行否定并给出证明，证明的结论也会很容易找出矛盾，进而保证原命题的正确性.例1 若a，b，c都是小于1的正数，求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三个数不可能同时大于14.
证明：检测设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同时大于14，由于a，b，c都是小于1的正数，则有
32<（1-a）b+（1-b）c+（1-c）a<（1-a）+b2+（1-b）+c2+（1-c）+a2=32
得出矛盾，故原命题成立.
三、证明“不存在”问题
在解决几何证明题的过程中，往往会遇到这样的情况：源于：论文提纲格式www.udooo.com
要证明这个图形并不具备某种性质，另一种情况是证明具有这种特点的图形是不存在的，这种命题大多是带有否定的性质，这时直接证明的话就会显得烦琐复杂，如果考虑采用反证法，将这种命题的反面即把带有某种肯定性质的结论进行论证，过程往往会简化得多，所以这种证明不存在类型的命题大多也采用反证法.例2 不存在自然数x、y，使得x的平方加y和y的平方加x都为完全平方数.
证明：检测设存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
即存在正整数m，n，使得：
x2+y=m2①
y2+x=n2②
由于x，y，m均为正整数，则m≥x+1③
欲证明②式不成立，只需证明y2+x<（y+1）2，即不存在n使②式成立.
y=m2-x2，代人即证（m2-x2）2+x<（m2-x2+1）2=>x<2m2-2x2+1.
由③式得2m2-2x2+1≥2（x+1）2-2x2+1=4x+1>x.
当①式成立时，不存在n使②式成立，即①②两式不能同时成立.
也就是不存在自然数x、y，使得x2+y和y2+x都为完全平方数.
四、证明“唯一性”问题
在几何或者代数中，常常会遇到一些命题需要证明结论的唯一性，即有且只有一个符合条件.对这种有关唯一性的证明题型，如果直接证明则往往没有反证法效率高，因此在解决此种问题时大多会采用反证法来证明.
例3 求证：方程3x=17的解是唯一的.
分析：可以通过检测设存在两个解，得出矛盾.
由对数的定义易得，方程的一个解是x1=log317.
检测设还存在一个解x2，且（x2≠x1），则有3x2=17.
因为3x1=17，即3x23x1=
1.（1）
由检测设x2≠x1，即x2-x1≠0.当时x2-x1>0，3x23x1>
1.（2）
当时x2-x1<0，3x23x1<1.（3）
显然（2）、（3）和（1）都矛盾，所以检测设不成立，原方程有唯一解.总之，反证法是逆向思维的一种直接反映，是相对于惯性思维而存在的不同的数学思维方法，这种思维的形成有利于学生打破思维惯性，拓宽思维视野，体验到数学方法和方式的多元化和多样性.而学生的推理能力和逻辑能力也会在反证法的锻炼中得到加强，同时反证法也有利于学生培养自己独立发现问题、提出问题并解决问题的能力，并在这种锻炼形式中获得解决实际生活问题的新模式，为以后的学习和生活产生可持续性的影响.