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【摘要】文章从真实而平凡的课堂教学案例中采撷一节片段，通过两位同学于板演中所发生的解题错误为平台——“寻错”，针对错误发生时所呈现的现状深入剖析产生此类错误的根本原因——“探错”，继而提出解决问题的对策——“纠错”。文章最后指出：强化课后教学反思是打造高效课堂中重要一环——“思错”。
【关键词】案例；概念；能力
Thinking by the students' board performances wrong
Zhang lin
【Abstract】Article Pick a clip from the real and ordinary classroom teaching cases - to "find fault" problem-solving errors by two students in the play at the plate as a platform for the error occurs, showing the status quo in-depth analysis to generate thisthe root cause of Type I error - "Explor
【Key words】Case; Concept; Ability
1.案例情景回放——寻错前不久，按教学计划已完成“等比数列的前n项和”内容第一课时的教学。尤其是数列求和中的一类重要方法----错位相减法，在公式推导中已向学生作出了明确的交代。接下去的第二课时是相关性质内容的教学，课前一开始我便出示了一道数列求和题，请甲、乙两位学生去黑板板演，试图检验上节课学生对所学内容的掌握情况。由于甲同学的基础相对较好，解答正确。而乙同学则暴露出一系列的错误，现将乙同学解答过程作如下简单实录：
题目：设Sn =1+3a+5a2+7a3+A+(2n-1)an-1 .求 Sn
. 乙的解答如下：
解：由已知Sn =1+3a+5a2+7a3+A+(2n-1)an-1 两边同乘以a得
aSn = a+ 3a2+5a3+A+(2n-1)an
两式相减 （1- a）Sn =1+2a +2a2 +A+2an-1 +(2n-1)an
（1- a）Sn =1(1-an-1)1-a+ (2n-1)an
所以 Sn = 1-an+(2n-1)an1-a=2(n-1)an1-a
乙同学解题完成后，没有对过程进行核查，匆忙返回了座位。
这类错误实质上是将学过的方法错误地延伸到新概念中所造成，表现为学生对基本概念的混淆。比如数列的项与项数的混淆，前n 项和Sn与an之间的混淆，等差数列的性质与等比数列性质的混淆等。其次，对概念理解不透彻还导致对概念转化应用的失误。
2.2 计算能力薄弱。 该同学在几行简短的计算中暴露出多处的计算错误，这包括两式相减时发生的符号错误，两项化简时发生的合并错误，等式两边同除以某一因式时发生的运算错误，上下两式的推理过程中发生的书写错误。此类错误发生的根本原因在于计算能力的薄弱。由于长期缺乏必要的计算性训练，导致数据处理能力上的缺失。计算能力的培养，不可能立竿见影、一蹴而就，需持之以恒加以长期训练，方显成效。
2.3 数学思想欠缺。分类讨论思想是数学中的重要思想，其足迹遍布高中数学学习中的各个角落，频繁出现在数列知识的模块中。乙同学在等比数列求和的问题处理中，根本就没有考虑到分类讨论的这一数学思想的合理运用，犯了方向性的错误，是造成本次解题的最大失误。要正确解决好上题的解答，需首先分①a=0 ；②a=1；③ a≠0且a≠1 三种情况加以讨论。乙同学由于数学思想的欠缺，忽略了对参数 的讨论，导致解题的重大失误。
2.4 自查意识空白。自查意识是学生学习中的一项心理品质，是构成学生非智力因素的组成部分。缺乏必要的自查意识，必会导致解题正确率的低下，造成解题中本不该发生的错误。乙同学在解题过程完成后，没有加以检查，草率收场，造成多处本应避免的失误。此题的计算过程并不复杂，但不乏错误。比如运算中的符号错误，漏项错误，项的合并错误都可以通过自查加以避免。这与当时的焦躁的心理状态有直接关系。就其本质而言归咎于学生自我评价潜能的欠开发。惯于承认教师对自己的评价，但很少自我评价。实际上学生彰显出来的并非完整真实的自我，这个落差只能靠学生自我意识的加强来弥补。自我意识发展水平欠缺已成为影响学生潜能开发的主要障碍。
培养学生的思维能力，宜从剖析和领悟概念入手，因为概念是表达数学思想方法的相似度检测载体。所以教学中需加大概念教学的力度，具体教学过程应体现在概念的形成、特征、方法和价值几方面。利用数学史与数学教材的整合进行探究性学习是一条有效途径。此外，设置好“观察”、“思考”、“探究”等有价值的问题启发学生的思维。3.2 重视数学思想的渗透，提高数学解题能力。数学思想是数学解题的灵魂，数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一
充分利用“好的评价”的激励性功能.对于学生每一次成绩上的哪怕一小点的突破，对于学生每克服一个难题哪怕只是思考，对于平时很努力、学习态度很端正的学生，即使考试成绩不理想，教师都应大加赞赏，甚至可以“夸大其词”树立典型。教师和家长的认同是激发学生信心和兴趣的最好的催化剂，与学生的自我认同起着同等重要的作用。
（2）锻炼意志、培养毅力，让学生学会坚持不懈，锲而不舍。心理学认为：意志是人自觉地确认目的，并根据目的调节和支配自己的行为，克服重重困难，去实现预定目的的心理过程。学生数学成绩差，不是智商差，往往是意志薄弱、行动迟缓，思想动摇。经常痛下决心，可是在困难面前，畏缩不前，不敢奋起挑战，不能自我说服，实现自我突破。因此，当学生经过一阵子努力，教师应及时引导，进行思想疏通，时常鼓励、打气、安慰。让学生明白“改变”不需在今朝，成功不在一朝一夕，有时离成功仅一步之遥。“优秀”来自于坚持、贵在坚持，努力有时未必成功，但成功必须努力。
4.课后教学反思——思错本节案例片段，十分普通平凡，看起来没有什么特别之处，但它所暴露出的问题可不能等闲视之。它牵扯到一个久远的课题----如何培养学生的各种能力，提高教学的有效性。新课程背景下的高效课堂研究是时代赋予当代教育工作者的历史使命，是一个需要长期探索实践的课题。有位教育家曾说过“教无定法，教学是一门遗憾的艺术”。因为我们的教师不是圣人，一堂课不会十全十美。所以自己每上一节课，都要进行深入的剖析、反思，对每一个教学环节预设要进行“过滤”，保留与实际相吻合环节，对学生学习状况、教师调控状况、课堂生成状况等方面认真进行分析总结，找出有规律的东西，在不断“反思”中改进。从思考过程、解题思路、分析方法、运算推理、语言表述、思想方法的渗透进行多角度反复“咀嚼”。这犹如赏花，花去香还在。长此下去课堂教学质量定会大面积提高，教学效果也一定会更好。
【关键词】案例；概念；能力
Thinking by the students' board performances wrong
Zhang lin
【Abstract】Article Pick a clip from the real and ordinary classroom teaching cases - to "find fault" problem-solving errors by two students in the play at the plate as a platform for the error occurs, showing the status quo in-depth analysis to generate thisthe root cause of Type I error - "Explor
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ation wrong, and then the solutions to this problem -" error correction ". The article pointed out: strengthening after-school teaching reflection to build efficient classroom - "think wrong".【Key words】Case; Concept; Ability
1.案例情景回放——寻错前不久，按教学计划已完成“等比数列的前n项和”内容第一课时的教学。尤其是数列求和中的一类重要方法----错位相减法，在公式推导中已向学生作出了明确的交代。接下去的第二课时是相关性质内容的教学，课前一开始我便出示了一道数列求和题，请甲、乙两位学生去黑板板演，试图检验上节课学生对所学内容的掌握情况。由于甲同学的基础相对较好，解答正确。而乙同学则暴露出一系列的错误，现将乙同学解答过程作如下简单实录：
题目：设Sn =1+3a+5a2+7a3+A+(2n-1)an-1 .求 Sn
. 乙的解答如下：
解：由已知Sn =1+3a+5a2+7a3+A+(2n-1)an-1 两边同乘以a得
aSn = a+ 3a2+5a3+A+(2n-1)an
两式相减 （1- a）Sn =1+2a +2a2 +A+2an-1 +(2n-1)an
（1- a）Sn =1(1-an-1)1-a+ (2n-1)an
所以 Sn = 1-an+(2n-1)an1-a=2(n-1)an1-a
乙同学解题完成后，没有对过程进行核查，匆忙返回了座位。
2.解题失误分析——探错
2.1 概念理解模糊。解题中错误之一：1+2a +2a2 +…2an-1 = .1(1-an-1)1-a由于本题涉及到等比数列的概念知识，组成等号左边的项1，2a，…， 2an-1根本就不能构成等比数列，怎能使用等比数列的求和公式呢？另外，在等比数列求和公式的使用时，还需充分考虑到公比不为1的情形，这里如果a =1即使所求数列是等比型结构，也不能使用上述的求和公式。这类错误实质上是将学过的方法错误地延伸到新概念中所造成，表现为学生对基本概念的混淆。比如数列的项与项数的混淆，前n 项和Sn与an之间的混淆，等差数列的性质与等比数列性质的混淆等。其次，对概念理解不透彻还导致对概念转化应用的失误。
2.2 计算能力薄弱。 该同学在几行简短的计算中暴露出多处的计算错误，这包括两式相减时发生的符号错误，两项化简时发生的合并错误，等式两边同除以某一因式时发生的运算错误，上下两式的推理过程中发生的书写错误。此类错误发生的根本原因在于计算能力的薄弱。由于长期缺乏必要的计算性训练，导致数据处理能力上的缺失。计算能力的培养，不可能立竿见影、一蹴而就，需持之以恒加以长期训练，方显成效。
2.3 数学思想欠缺。分类讨论思想是数学中的重要思想，其足迹遍布高中数学学习中的各个角落，频繁出现在数列知识的模块中。乙同学在等比数列求和的问题处理中，根本就没有考虑到分类讨论的这一数学思想的合理运用，犯了方向性的错误，是造成本次解题的最大失误。要正确解决好上题的解答，需首先分①a=0 ；②a=1；③ a≠0且a≠1 三种情况加以讨论。乙同学由于数学思想的欠缺，忽略了对参数 的讨论，导致解题的重大失误。
2.4 自查意识空白。自查意识是学生学习中的一项心理品质，是构成学生非智力因素的组成部分。缺乏必要的自查意识，必会导致解题正确率的低下，造成解题中本不该发生的错误。乙同学在解题过程完成后，没有加以检查，草率收场，造成多处本应避免的失误。此题的计算过程并不复杂，但不乏错误。比如运算中的符号错误，漏项错误，项的合并错误都可以通过自查加以避免。这与当时的焦躁的心理状态有直接关系。就其本质而言归咎于学生自我评价潜能的欠开发。惯于承认教师对自己的评价，但很少自我评价。实际上学生彰显出来的并非完整真实的自我，这个落差只能靠学生自我意识的加强来弥补。自我意识发展水平欠缺已成为影响学生潜能开发的主要障碍。
3.提出解决对策——纠错
3.1 加强概念教学，注重教学思维能力的培养。提高学生的数学思维能力是数学教育的根本目标之一，学生对数学概念、思想、方法的正确理解，提出、分析和解决问题能力的提高，以及表达交流意识、探索精神的培养，最终都取决于数学思想能力的发展。培养学生的思维能力，宜从剖析和领悟概念入手，因为概念是表达数学思想方法的相似度检测载体。所以教学中需加大概念教学的力度，具体教学过程应体现在概念的形成、特征、方法和价值几方面。利用数学史与数学教材的整合进行探究性学习是一条有效途径。此外，设置好“观察”、“思考”、“探究”等有价值的问题启发学生的思维。3.2 重视数学思想的渗透，提高数学解题能力。数学思想是数学解题的灵魂，数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：（1）由于概念本身需要分类的，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；（2）同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等。又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等．因此，在数学课堂教学中应重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识一
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种“思想”或“方法”的个性，即认识一种数学思想或方法对于解决什么样的问题有效。从而培养和提高学生合理、正确地应用数学思想与方法分析和解决问题的能力。3.3 从非智力因素上激发兴趣，培养良好的学习习惯。
（1）让学生体验成功，受到赞扬，积累信心，化被动为主动。心理学研究表明：兴趣的产生和保持依赖于成功。减少出错，提高成绩是学生心目中最现实的成功。所以，要让学生体验成功，首先在试题难度上应慎重。对于基础较好的学校，可以选择一难一易交替出现，即体验成功，又避免骄傲放松警惕。练习难度选择也应慎重，让学生够得着、又不是很容易啃得下，体验克服困难后的成功喜悦。充分利用“好的评价”的激励性功能.对于学生每一次成绩上的哪怕一小点的突破，对于学生每克服一个难题哪怕只是思考，对于平时很努力、学习态度很端正的学生，即使考试成绩不理想，教师都应大加赞赏，甚至可以“夸大其词”树立典型。教师和家长的认同是激发学生信心和兴趣的最好的催化剂，与学生的自我认同起着同等重要的作用。
（2）锻炼意志、培养毅力，让学生学会坚持不懈，锲而不舍。心理学认为：意志是人自觉地确认目的，并根据目的调节和支配自己的行为，克服重重困难，去实现预定目的的心理过程。学生数学成绩差，不是智商差，往往是意志薄弱、行动迟缓，思想动摇。经常痛下决心，可是在困难面前，畏缩不前，不敢奋起挑战，不能自我说服，实现自我突破。因此，当学生经过一阵子努力，教师应及时引导，进行思想疏通，时常鼓励、打气、安慰。让学生明白“改变”不需在今朝，成功不在一朝一夕，有时离成功仅一步之遥。“优秀”来自于坚持、贵在坚持，努力有时未必成功，但成功必须努力。
4.课后教学反思——思错本节案例片段，十分普通平凡，看起来没有什么特别之处，但它所暴露出的问题可不能等闲视之。它牵扯到一个久远的课题----如何培养学生的各种能力，提高教学的有效性。新课程背景下的高效课堂研究是时代赋予当代教育工作者的历史使命，是一个需要长期探索实践的课题。有位教育家曾说过“教无定法，教学是一门遗憾的艺术”。因为我们的教师不是圣人，一堂课不会十全十美。所以自己每上一节课，都要进行深入的剖析、反思，对每一个教学环节预设要进行“过滤”，保留与实际相吻合环节，对学生学习状况、教师调控状况、课堂生成状况等方面认真进行分析总结，找出有规律的东西，在不断“反思”中改进。从思考过程、解题思路、分析方法、运算推理、语言表述、思想方法的渗透进行多角度反复“咀嚼”。这犹如赏花，花去香还在。长此下去课堂教学质量定会大面积提高，教学效果也一定会更好。