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【摘要】高考是源于课本而高于课本，本文主要通过课本习题引发的思考，来总结高中数学中几个常见的构造法模型的应用。
【关键字】：构造法 函数几何图形
高考命题组的总结"相当数量的试题都源于课本的例题、习题或稍加改造，或做拼合，或稍做提高，是常规题型、常见思路、常用的方法在试卷占了主题地位。突出了基础知识、基本技能和基本方法的考查。 "正因为很多高考源于课本而高于课本，而在教学的过程中对于课本上的题会好，很多练模拟卷上的题都和课本上的题有很大的相似之处，可以说有很多题都是课本的习题的变式，尤其是在书后探究拓展、思考运用部分出现的频率更高，所以本人通过课本习题归纳总结一些常见问题的构造法。
在苏教版必修2第一章立体几何部分（第62页）章末复习题第18题
【原题】设P、A、B、C是球O 表面上的四点；PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，求球的表面积及体积。
对于此题本身由于大部分同学对于空间立体的想象比较欠缺，解决起来有一定的困难，由于求本身就是空间的图形不好在平面上画出，还要在还要里面还几条互相垂直的线，不容易找到球心与一已知量之间的关系。因而很多同对于此只能望而却步，但如果我们能从题目本身的特点和条件入手构造常见的图行从而很容易解决此问题。上面的问题就用到了常见的数学方法构造法。下面从以下几个方面谈一下构造法如何在高中数学中很好的运用。
【原题1】设P、A、B、C是球O 表面上的四点；PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，求球的表面积及体积。
【分析】此题可看作球O内接正方体PBGC-ADEF中，因为PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，即以PA、PB、PC为三条相邻的棱补一个正方体，这就是在原图形的基础上根据题设条件，在构造出一个正方体，此时正方体一定在原球内，并且正方体的对角线为球的直径。解：如图：原问题可视作球O内接正方体PBGC-ADEF，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，，因此球的直径为，此时半径为 ，。
【变式1】：三棱锥P-ABC中，侧棱两两互相垂直，且长为1，球三棱锥外接球的体积：
【解析】此问题和上面的问题解法一样，只是不同的问法
【变式2】一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为
解析：此题与上面两题问题稍有所不同，但主体思想一样，采用构造图形法，由于已知的一个四面体的所有棱长都是相等，所以想到正方体的特点，正方体的面对角线有四个相等，因而在四面体外不一个正方体，此时正方体的对角线就是在四面体的边长，而正方体的外接球就是四面体的外接球，从而球的半径很容易求得。
【变式3】如图所示在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=，E为AB的中点，将△ADE 与 △BEC分别沿ED，EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积
【解析】此题由已知条件可得三棱锥P-DCE是正四面体，且所有棱长为1，方法变式2，补一个正方体，外接球的直径为正方体的对角线。
苏教版必修1，第94页，思考运用的第27题
【原题2】若关于的方程的两个实根满足，求的取值范围。
【分析】
解析：令，则方程的两个根满足，也就是函数的两个交点介于（0，0）、（1，0）、（2，0）之间，因为函数恒过点（0，4）若开口向下，函数与轴的一个交点在轴负半轴上，所以，可以根据函数画出函数的然后由图像
即解得
【典例】已知是定义在R上的函数，且，则的解集是；
此题是典型的导数与函数综合运用问题，由于是抽象函数没有解析式，因次很多学生不知从何着手，如果我们仔细观察已知条件，和求解的不等式，如果从构造函数的角度来解决问题会迎刃而解，先把变形为，如果令，即求的解集，，因为即，所以，所以函数在R上单调递增，，所以，因此恒过定点（1，0）且递增，所以不等式解集为，因而的解集为。
【变式1】已知函数满足，且的导函数，则的解集为 解析：此题的解法和上面的解法一模一样。
【变式2】已知满足，且，且，则不等式的解集为。
此题和上面的两题只是大同小异，也是构造函数只是注意，则
，求导已知的带入判断在R上单调递增，并且求恒过定点（1，0）。从而解得，所以解得 {}
即原不等式的解集为{}
上述几个问题说明要用常规解法比较困难，但运用构造函数法的把含导数的不等式迎刃而解。并且构造函数法是高中数学常用的方法，在同学们平时的学习中可以理解和掌握此方法。
总结：构造法在高中数学中有相当广泛的应用，通过上面的实例会发现应用构造法解决起来十分容易，关键是如何构造，对于学生来说也是一个难点，也就是如何把已知的条件和要求证或计算的量用构造法联系起来，在这一点上首先要认真分析已知条件的特点和关系式与求的关系式的联系，再结合我们常见的一些构造模型，问题就可以得以解决。本人只是通过课本习题将在教学中常见的构造函数法，构造图形法两个角度抛砖引玉。
【参考文献】
李文林. 数学史概论.教学法研究，高等教育出版社
蓝宏初.浅谈如何在解析几何教学中渗透数形结合思想 .教学法研究.福建教育学院学报
【关键字】：构造法 函数几何图形
高考命题组的总结"相当数量的试题都源于课本的例题、习题或稍加改造，或做拼合，或稍做提高，是常规题型、常见思路、常用的方法在试卷占了主题地位。突出了基础知识、基本技能和基本方法的考查。 "正因为很多高考源于课本而高于课本，而在教学的过程中对于课本上的题会好，很多练模拟卷上的题都和课本上的题有很大的相似之处，可以说有很多题都是课本的习题的变式，尤其是在书后探究拓展、思考运用部分出现的频率更高，所以本人通过课本习题归纳总结一些常见问题的构造法。
在苏教版必修2第一章立体几何部分（第62页）章末复习题第18题
【原题】设P、A、B、C是球O 表面上的四点；PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，求球的表面积及体积。
对于此题本身由于大部分同学对于空间立体的想象比较欠缺，解决起来有一定的困难，由于求本身就是空间的图形不好在平面上画出，还要在还要里面还几条互相垂直的线，不容易找到球心与一已知量之间的关系。因而很多同对于此只能望而却步，但如果我们能从题目本身的特点和条件入手构造常见的图行从而很容易解决此问题。上面的问题就用到了常见的数学方法构造法。下面从以下几个方面谈一下构造法如何在高中数学中很好的运用。
2.1构造图形法
构造图形法主要是在原来已知图形、函数，等式的基础上进一步探讨分析，主要也就是数形结合，通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。它包含"以形助数"和"以数辅形"两个方面。华罗庚教授对此有精辟的概述："数无形，少直观；形无数，难入微。" 本人就以开始课本上的习题为例具体说明【原题1】设P、A、B、C是球O 表面上的四点；PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，求球的表面积及体积。
【分析】此题可看作球O内接正方体PBGC-ADEF中，因为PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，即以PA、PB、PC为三条相邻的棱补一个正方体，这就是在原图形的基础上根据题设条件，在构造出一个正方体，此时正方体一定在原球内，并且正方体的对角线为球的直径。解：如图：原问题可视作球O内接正方体PBGC-ADEF，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，，因此球的直径为，此时半径为 ，。
【变式1】：三棱锥P-ABC中，侧棱两两互相垂直，且长为1，球三棱锥外接球的体积：
【解析】此问题和上面的问题解法一样，只是不同的问法
【变式2】一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为
解析：此题与上面两题问题稍有所不同，但主体思想一样，采用构造图形法，由于已知的一个四面体的所有棱长都是相等，所以想到正方体的特点，正方体的面对角线有四个相等，因而在四面体外不一个正方体，此时正方体的对角线就是在四面体的边长，而正方体的外接球就是四面体的外接球，从而球的半径很容易求得。
【变式3】如图所示在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=，E为AB的中点，将△ADE 与 △BEC分别沿ED，EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积
【解析】此题由已知条件可得三棱锥P-DCE是正四面体，且所有棱长为1，方法变式2，补一个正方体，外接球的直径为正方体的对角线。
2.2构造函数法
构造函数法就是利用动态和变化的角度分析了已知问题的数量关系，进而构造出函数式，把已知的的量化关系用函数来研究从而原问题获得解决，函数是高中数学中最重要也是最常用来解决其它问题的，使问题变得简单易懂。苏教版必修1，第94页，思考运用的第27题
【原题2】若关于的方程的两个实根满足，求的取值范围。
【分析】
摘自：毕业论文格式字体www.udooo.com
此题同学们看到有，一般会把它当作二次函数来解决，对于二次函数，二次项系数有参数，而且一次项也含参数，对称轴都不确定要采用分类讨论的思想，解决起来比较复杂，而且由于参数的讨论很容易出错，但如果我们仔细观察所给的方程，，结合结合一元二次函数，把函数根的问题转化为函数图像与轴的交点问题，从图像直观的看出关系从而问题得以解决，此题关键是从中构造出了函数。解析：令，则方程的两个根满足，也就是函数的两个交点介于（0，0）、（1，0）、（2，0）之间，因为函数恒过点（0，4）若开口向下，函数与轴的一个交点在轴负半轴上，所以，可以根据函数画出函数的然后由图像
即解得
【典例】已知是定义在R上的函数，且，则的解集是；
此题是典型的导数与函数综合运用问题，由于是抽象函数没有解析式，因次很多学生不知从何着手，如果我们仔细观察已知条件，和求解的不等式，如果从构造函数的角度来解决问题会迎刃而解，先把变形为，如果令，即求的解集，，因为即，所以，所以函数在R上单调递增，，所以，因此恒过定点（1，0）且递增，所以不等式解集为，因而的解集为。
【变式1】已知函数满足，且的导函数，则的解集为 解析：此题的解法和上面的解法一模一样。
【变式2】已知满足，且，且，则不等式的解集为。
此题和上面的两题只是大同小异，也是构造函数只是注意，则
，求导已知的带入判断在R上单调递增，并且求恒过定点（1，0）。从而解得，所以解得 {}
即原不等式的解集为{}
上述几个问题说明要用常规解法比较困难，但运用构造函数法的把含导数的不等式迎刃而解。并且构造函数法是高中数学常用的方法，在同学们平时的学习中可以理解和掌握此方法。
总结：构造法在高中数学中有相当广泛的应用，通过上面的实例会发现应用构造法解决起来十分容易，关键是如何构造，对于学生来说也是一个难点，也就是如何把已知的条件和要求证或计算的量用构造法联系起来，在这一点上首先要认真分析已知条件的特点和关系式与求的关系式的联系，再结合我们常见的一些构造模型，问题就可以得以解决。本人只是通过课本习题将在教学中常见的构造函数法，构造图形法两个角度抛砖引玉。
【参考文献】
李文林. 数学史概论.教学法研究，高等教育出版社
蓝宏初.浅谈如何在解析几何教学中渗透数形结合思想 .教学法研究.福建教育学院学报