试谈向量活用向量工具解决数学理由结论

【摘 要】平面向量是高中数学近几年新增的内容，以向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵，积极探索向量在数学中各方面的应用，不仅可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构；而且有利于拓展想象力，激发创新活力。显现出向量作为一个工具在数学中的重要性，由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理，它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点。
【关键词】高三；向量；三角；几何；函数
向量的考查要求主要是向量的性质和运算法则、基本运算技能以及和其他数学内容结合（几何知识和代数知识有机地结合）在一起，如可以和曲线、数列、不等式等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。平面向量一般以选择题和填空题进行考查。而空间向量基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，一般利用解答题考查。

一、向量在三角中的应用

例1.设函数，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，3sin2x），x∈R.若将函数按向量=（m，n）（|m|<2π）平移后得到函数y=2sin2x的图象，求
分析：先通过向量的数量积建立函数关系式，再利用向量平移公式建立方程，求出m、n
解：依题设得：= 2cos2x+3sin2x=2sin（2x+6π）+1，将函数f（x）的图象按向量=（m，n）平移后得到函数：y=2sin[2 （x-m）+6π]+1+n的图象，即是函数y=2sin2x的图象。（由向量的关系转化为三角函数）
∵ |m|<2π ∴m=12π ，n= - 1.
例

2.已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=-2，

（1）求向量；
（2）若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依

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次成等差数列，试求的取值范围。
解：（1）设=（x，y），则
∴解得
（2）
∴

二、向量知识在不等式中的应用

利用向量数量积的一个性质，变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力。
例

3.设任意实数x、y满足|x|<1，|y|<1，求证：

即：
例

4.已知x>0，y>0，且x+y=1，求的最大值

三、向量知识在立体几何中的应用

用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：
（1）要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？
（2）所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？
（3）所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？
例

5.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中

（1）求证：；
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
解析：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
（1）证明 设E是BD的中点， P-ABCD是正四棱锥，∴
又，
∴ ∴ ∴
∴ ， 即。
（2）解 设平面PAD的法向量是，
∴ 取得，又平面的法向量是
（3）解 ∴ 到平面PAD的距离。
例

6.如图：已知空间四

边形ABCD，AB⊥AD，∠BAC=60°，
CA=CD=4，AD=3。求二面角
C-AB-D的大小。
分析：在此题中要作出二面角C-AB-D的平面角是一件不容易的事。如果用空间向量则根本不用作出二面角C-AB-D的平面角也能求出，因为AD⊥AB，我们只要作CE⊥AB，那么二面角C-AB-D的大小就是空间向量与的所成角的大小。再根据公式
即：很容易地就可以求出。

四、向量知识在解析几何中的应用

例

7.已知两定点A和B（AB=2a）且动点P使PA⊥PB，求点P的轨迹方程。

解析：此题常规解法是根据KAP·KBP=-1求出，但也可以向学生介绍向量的解法：
以线段AB所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立坐标系xoy，则A（-a，0），B（a，0）
设P（x，y），则有=（x+a，y）， =（x-a，y），又PA⊥PB，所以=0，
即有： （x+a）（x-a）+ y2=0，故点P的轨迹是x2+y2=a2
例8.设x，y ∈R，为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
（1）求点M（x， y ）的轨迹C 的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设 ，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由。
解：（1）由
（2）检测设直线l存在，显然l的斜率存在
设A（x1，y1） B（x2，y2）
由