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摘要： 新教材引入空间向量，大大降低了处理立体几何相关角的求解难度，但求解二面角时还需根据图形判断其平面角的范围，这又添加了难度.本文阐述巧用空间向量及其相关运算顺利且准确求解二面角大小.
关键词： 空间向量空间立体感二面角
传统教材中二面角大小求解通常必须先通过作图找出其平面角再求其大小，而作图对空间想象能力要求较高，这也导致对大部分学生而言求解二面角大小一直是个难点.新课程引入空间向量，为处理立体几何尤其是相关角的求解问题提供了新的方法，大大降低了求解难度.苏教版新教材利用空间向量的数量积求解二面角两面法向量的夹角，根据二面角的平面角与这两法向量的夹角相等或互补的关系求解二面角大小，但是如何判断这两法向量的夹角与二面角的平面角是“相等”还是“互补”呢？教材通过两个例题说明“根据图形可知”.根据图形判断这二者之间的关系反而提高了对空间想象能力的要求，况且如果二面角的平面角非常接近直角（如例1），则又 “根据图形”判断呢？
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小.根据“共线向量定理”可得：若P、A、B三点共线，点O为空间任一点，则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）.于是在二面角某半平面内可分别取四个点P、A、B、E（其中点P不在棱上，A、B、E三点均在棱上），则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）.由与垂直，可求出实数λ，即==λ+（1-λ）.同理在另一半平面内可求得==λ+（1-λ），则所求二面角的大小就是两向量与的夹角.
例1.已知△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的平面角的余弦值.
解：法一：设BC=1，以点B为坐标原点，平面BCD为xoy平面，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（-，0，），C（1，0，0），D（-，-，0）
=（，0，-），=（0，-，-），=（-，-，0）
分别过点A、C作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F，
设=λ+（1-λ），则由⊥可求得λ=，
即=+，同理可求得=-.
记向量与夹角为〈，〉（下同），
则cos〈，〉==-
而〈，〉等于二面角A-BD-C的平面角的大小
∴二面角A-BD-C的平面角的余弦值为-.
法二：同法一建立空间直角坐标系，易知=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.
设=（a，b，c）是平面ABD的一个法向量，
则由?=0，?=0，得：-a+c=0-a-b=0
令c=1，则a=，b=-1，即=（，-1，1）是平面ABD的一个法向量.
故cos〈，〉==.
根据图形可知：二面角A-BD-C的平面角与〈，〉互补，它的余弦值为-.
在上述两种解法中，方法一运算量较大但运算结果准确；方法二尽管运算量较小，但对空间立体感要求较高，许多学生误以为二面角A-BD-C的平面角与〈，〉相等，易得错误答案.即使部分学生运气较好地“猜”对结论，我们也不能将数学结果建立在“运气好”与“猜”的基础上，这就违背了数学的严谨性.
例2.已知正三棱柱ABD-ABC的所有棱长均为2，D为CC的中点，求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.
解：法一：令不共面向量=，=，=为基向量
过点A作AM⊥DA于点M，设=
∵⊥
∴?=0解得λ=
故=-
同理，过点B作BN⊥DA于点N，得：=-++
∴cos〈，〉==
而〈，〉就是二面角A-AD-B的平面角的大小
∴所求二面角的平面角的余弦值为.
法二：分别取BC、BC中点O、O，以O为原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，1，0），A（0，2，），A（0，0，），B（1，2，0），
过点A作AM⊥DA于点M，
设=++=（-1+λ，1+λ，-+λ）
由⊥得λ=
故=（-，，-）
同理过点B作BN⊥DA于点N，则可得=（-，，）
∴cos〈，〉==
∴所求二面角的平面角的余弦值为.
从上述两个例题中，我们可以得出：在求解二面角大小时，或许我们空间立体感不强，但我们只需利用空间向量的相关运算就可顺利且准确地求解，而不必去 “猜”结果.
关键词： 空间向量空间立体感二面角
传统教材中二面角大小求解通常必须先通过作图找出其平面角再求其大小，而作图对空间想象能力要求较高，这也导致对大部分学生而言求解二面角大小一直是个难点.新课程引入空间向量，为处理立体几何尤其是相关角的求解问题提供了新的方法，大大降低了求解难度.苏教版新教材利用空间向量的数量积求解二面角两面法向量的夹角，根据二面角的平面角与这两法向量的夹角相等或互补的关系求解二面角大小，但是如何判断这两法向量的夹角与二面角的平面角是“相等”还是“互补”呢？教材通过两个例题说明“根据图形可知”.根据图形判断这二者之间的关系反而提高了对空间想象能力的要求，况且如果二面角的平面角非常接近直角（如例1），则又 “根据图形”判断呢？
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小.根据“共线向量定理”可得：若P、A、B三点共线，点O为空间任一点，则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）.于是在二面角某半平面内可分别取四个点P、A、B、E（其中点P不在棱上，A、B、E三点均在棱上），则存在实数λ，使得=λ+（1-λ）.由与垂直，可求出实数λ，即==λ+（1-λ）.同理在另一半平面内可求得==λ+（1-λ），则所求二面角的大小就是两向量与的夹角.
例1.已知△ABC和△DBC所在平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求二面角A-BD-C的平面角的余弦值.
解：法一：设BC=1，以点B为坐标原点，平面BCD为xoy平面，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（-，0，），C（1，0，0），D（-，-，0）
=（，0，-），=（0，-，-），=（-，-，0）
分别过点A、C作AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F，
设=λ+（1-λ），则由⊥可求得λ=，
即=+，同理可求得=-.
记向量与夹角为〈，〉（下同），
则cos〈，〉==-
而〈，〉等于二面角A-BD-C的平面角的大小
∴二面角A-BD-C的平面角的余弦值为-.
法二：同法一建立空间直角坐标系，易知=（0，0，1）是平面BCD的一个法向量.
设=（a，b，c）是平面ABD的一个法向量，
则由?=0，?=0，得：-a+c=0-a-b=0
令c=1，则a=，b=-1，即=（，-1，1）是平面ABD的一个法向量.
故cos〈，〉==.
根据图形可知：二面角A-BD-C的平面角与〈，〉互补，它的余弦值为-.
在上述两种解法中，方法一运算量较大但运算结果准确；方法二尽管运算量较小，但对空间立体感要求较高，许多学生误以为二面角A-BD-C的平面角与〈，〉相等，易得错误答案.即使部分学生运气较好地“猜”对结论，我们也不能将数学结果建立在“运气好”与“猜”的基础上，这就违背了数学的严谨性.
例2.已知正三棱柱ABD-ABC的所有棱长均为2，D为CC的中点，求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.
解：法一：令不共面向量=，=，=为基向量
过点A作AM⊥DA于点M，设=
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++=（λ+1）+（λ-1）∵⊥
∴?=0解得λ=
故=-
同理，过点B作BN⊥DA于点N，得：=-++
∴cos〈，〉==
而〈，〉就是二面角A-AD-B的平面角的大小
∴所求二面角的平面角的余弦值为.
法二：分别取BC、BC中点O、O，以O为原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（-1，0，0），D（-1，1，0），A（0，2，），A（0，0，），B（1，2，0），
过点A作AM⊥DA于点M，
设=++=（-1+λ，1+λ，-+λ）
由⊥得λ=
故=（-，，-）
同理过点B作BN⊥DA于点N，则可得=（-，，）
∴cos〈，〉==
∴所求二面角的平面角的余弦值为.
从上述两个例题中，我们可以得出：在求解二面角大小时，或许我们空间立体感不强，但我们只需利用空间向量的相关运算就可顺利且准确地求解，而不必去 “猜”结果.