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纵观2012年全国各地的中考数学试题，圆仍是各地区试题考查的重头戏之一，其中尤以“直线和圆的位置关系”的知识点考查为重中之重.“直线和圆的位置关系”包括：直线和圆的三种位置关系；切线的性质和判定；三角形内切圆；切线长等相关知识点.下面就略举几例加以分析说明：
例1 （荷泽）如图1，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
点评 该题考查的是切线长知识点，当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及垂直的性质来计算角的度数.
解析 因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP—∠PAB=90°—67°=23°
答案 23°
例2 （丽水）如图2，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
（1） 求证：BD平分∠ABH；
（2） 如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.
点评 已知圆的切线，常作过切点的半径构造以半径为斜边，弦心距和弦的一半为直角边的直角三角形，这个“金三角”通常是解决与半径或者弦有关问题的最便捷的通道，以便于利用勾股定理求解相关问题.
解析 （1） 欲证BD平分∠ABH，只需证∠OBD=∠DBH.连接OD，则∠OBD=∠ODB，为止只需证∠ODB=∠DBH即可.（2）过点O作OG⊥BC于点G，在Rt△OBG中，利用勾股定理即可求得OG的值.
答案 （1） 证明：如图3连接OD.
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF. 又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH. 而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，∴BD平分∠ABH.
（2） 过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG===2.
例3 （福州）如图4，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.
（1） 求证：AC平分∠DAB；
（2） 若∠B=60°，CD=2，求AE的长.
点评 本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等.一般来说，“遇到切线连切点，用好性质是关键”，在解题过程中，常常落实此想法，对顺利解题大有裨益！这里“连切点”指的是连接圆心和切点，以便于利用圆的切线垂直于过切点的半径这一性质.
解析 （1） 由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB；（2） 由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD=2，因此可得AC=4，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE.
答案 （1） 证明：如图5，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°
∴AD∥OC，∴∠1=∠2，
∵OA=OC，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB.
（2） 解：如图6
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=2，∴AC=2CD=4
在Rt△ABC中，AC=4，∴AB===8
连接OE，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△E
例4 ？摇（泰州）如图7，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1） 试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2） 若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3） 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
点评 本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识，知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
解析 （1） 由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB，AC两底角相等
（2） 设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
（3） 先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
答案 （1） AB=AC；连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=90°，又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB=∠cpa，又OA⊥l于点A，所以∠PCA+∠CPA=90°，故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC
（2） 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5—r；∴AB2=OA2—OB2=52—r2，AC2=PC2—AP2=（2）2—（5—r）2，从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB2=AC2，利用相似，求出PB=4
（3） 作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD=AC=AB=；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以OD=≤r，r≥；又因为圆O与直线l相离；所以r<5；综上，≤r<5.例5 （襄阳）如图8，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交
（1） 求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长.
点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性.要证某直线是圆的切线，只有两种类型：其一，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，可简称为“连半径，证垂直”；其二，若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径，可简称为“作垂直，证半径”.另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开.
解析 （1） 要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO=∠PBO=90°即可.（2） OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2=OD·OP，再将EF=2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系.（3） 利用tan∠F=，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD=BD，OD=xBC=3，AO=OC=OF=FD—OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
答案 解：（1） 证明：如图9，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°.
∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.
（2） EF2=4OD·OP.
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.
∴=，即OA2=OD·OP.
又∵EF=2OA，∴EF2=4OD·OP.
（3） ∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3.
设AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x—3.
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得（2x—3）2=x2+32.
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.
AD=4，OA=2x—3=5.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.
而AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB==.
∵OA2=OD·OP，∴3（PE+5）=2
（Ⅰ） 探究新知
如图10 ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.
（1） 求证：内切圆的半径r1=1；
（2） 求tan∠OAG的值；
（Ⅱ） 结论应用
（1） 如图11若半径为r2的两个等圆⊙O
点评 本题考查了切线长定理、切线的性质以及解直角三角形的相关知识，运用了从特殊到一般的归纳思想，解题的关键是用r表示AB的长.
解析 （Ⅰ） （1） 运用切线长定理可得；（2） 连接OA，OG，构造直角三角形求解；（Ⅱ） （1） 联想（Ⅰ）（2）的解题方法，用r2表示AB的长列方程求解；（2） 寻找规律，用rn表示AB的长列方程求解
答案（Ⅰ） （1） 证明：在图13中，连结OE，OF，OA.
∵四边形CEOF是正方形，CE=CF=r1.
又∵AG=AE=3—r1，BG=BF=4—r1，AG+BG=5，
∴（3—r1）+（4—r1）=
（Ⅱ） （1） 连结O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r
则AO
又∵AD+DE+…+MB=5，∴2rn+2rn+…+3rn=5，
∴（2n+3）rn=5，即rn=.
圆是一个特殊的几何图形，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹.圆也是中考综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴.因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一.在近几年各地的中考中，圆的有关性质，如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
例1 （荷泽）如图1，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
点评 该题考查的是切线长知识点，当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及垂直的性质来计算角的度数.
解析 因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP—∠PAB=90°—67°=23°
答案 23°
例2 （丽水）如图2，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
（1） 求证：BD平分∠ABH；
（2） 如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.
点评 已知圆的切线，常作过切点的半径构造以半径为斜边，弦心距和弦的一半为直角边的直角三角形，这个“金三角”通常是解决与半径或者弦有关问题的最便捷的通道，以便于利用勾股定理求解相关问题.
解析 （1） 欲证BD平分∠ABH，只需证∠OBD=∠DBH.连接OD，则∠OBD=∠ODB，为止只需证∠ODB=∠DBH即可.（2）过点O作OG⊥BC于点G，在Rt△OBG中，利用勾股定理即可求得OG的值.
答案 （1） 证明：如图3连接OD.
∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF. 又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH. 而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，∴BD平分∠ABH.
（2） 过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG===2.
例3 （福州）如图4，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.
（1） 求证：AC平分∠DAB；
（2） 若∠B=60°，CD=2，求AE的长.
点评 本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等.一般来说，“遇到切线连切点，用好性质是关键”，在解题过程中，常常落实此想法，对顺利解题大有裨益！这里“连切点”指的是连接圆心和切点，以便于利用圆的切线垂直于过切点的半径这一性质.
解析 （1） 由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB；（2） 由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD=2，因此可得AC=4，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE.
答案 （1） 证明：如图5，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°
∴AD∥OC，∴∠1=∠2，
∵OA=OC，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB.
（2） 解：如图6
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
又∵∠B=60°，
∴∠1=∠3=30°
在Rt△ACD中，CD=2，∴AC=2CD=4
在Rt△ABC中，AC=4，∴AB===8
连接OE，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△E
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AO是等边三角形，∴AE=OA=AB=4.例4 ？摇（泰州）如图7，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1） 试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2） 若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3） 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
点评 本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识，知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
解析 （1） 由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB，AC两底角相等
（2） 设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
（3） 先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
答案 （1） AB=AC；连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=90°，又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，又∠OPB=∠cpa，又OA⊥l于点A，所以∠PCA+∠CPA=90°，故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC
（2） 设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5—r；∴AB2=OA2—OB2=52—r2，AC2=PC2—AP2=（2）2—（5—r）2，从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB2=AC2，利用相似，求出PB=4
（3） 作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD=AC=AB=；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以OD=≤r，r≥；又因为圆O与直线l相离；所以r<5；综上，≤r<5.例5 （襄阳）如图8，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交
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⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.（1） 求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长.
点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性.要证某直线是圆的切线，只有两种类型：其一，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，可简称为“连半径，证垂直”；其二，若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径，可简称为“作垂直，证半径”.另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开.
解析 （1） 要证PA是⊙O的切线，只要连接OB，再证∠PAO=∠PBO=90°即可.（2） OD，OP分别是Rt△OAD，Rt△OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得OA2=OD·OP，再将EF=2OA代入即可得出EF，OD，OP之间的等量关系.（3） 利用tan∠F=，得出AD，OD之间的关系，据此设未知数后，根据AD=BD，OD=xBC=3，AO=OC=OF=FD—OF，将AB，AC也表达成含未知数的代数式，再在Rt△ABC中运用勾股定理构建方程求解.
答案 解：（1） 证明：如图9，连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°.
∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB.
又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO.
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴直线PA为⊙O的切线.
（2） EF2=4OD·OP.
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°，
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°.
∴∠OAD=∠OPA.∴△OAD∽△OPA.
∴=，即OA2=OD·OP.
又∵EF=2OA，∴EF2=4OD·OP.
（3） ∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3.
设AD=x，∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x—3.
在Rt△AOD中，由勾股定理 ，得（2x—3）2=x2+32.
解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.
AD=4，OA=2x—3=5.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°.
而AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB==.
∵OA2=OD·OP，∴3（PE+5）=2
5.∴PE=.
例6 （日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.（Ⅰ） 探究新知
如图10 ⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.
（1） 求证：内切圆的半径r1=1；
（2） 求tan∠OAG的值；
（Ⅱ） 结论应用
（1） 如图11若半径为r2的两个等圆⊙O
1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；
（2） 如图12若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值.点评 本题考查了切线长定理、切线的性质以及解直角三角形的相关知识，运用了从特殊到一般的归纳思想，解题的关键是用r表示AB的长.
解析 （Ⅰ） （1） 运用切线长定理可得；（2） 连接OA，OG，构造直角三角形求解；（Ⅱ） （1） 联想（Ⅰ）（2）的解题方法，用r2表示AB的长列方程求解；（2） 寻找规律，用rn表示AB的长列方程求解
答案（Ⅰ） （1） 证明：在图13中，连结OE，OF，OA.
∵四边形CEOF是正方形，CE=CF=r1.
又∵AG=AE=3—r1，BG=BF=4—r1，AG+BG=5，
∴（3—r1）+（4—r1）=
5.即r1=1.
（2） 连结OG，在Rt△AOG中，∵r1=1， AG=3—r1=2，tan∠OAG==；（Ⅱ） （1） 连结O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO
1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.
由tan∠OAG=，知tan∠O1AD=，同理可得：tan∠O2BE==，∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r
2. ∵AD+DE+BE=5，∴r2=；
（2） 如图15，连结O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M.则AO
1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.
tan∠O1AD=，tan∠OnBM=， AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，∴2rn+2rn+…+3rn=5，
∴（2n+3）rn=5，即rn=.
圆是一个特殊的几何图形，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹.圆也是中考综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴.因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一.在近几年各地的中考中，圆的有关性质，如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.