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摘要：文章在对组合信用风险度量的因子模型和Copula方法进行介绍的基础上，指出Copula函数复杂的参数估计和计算问题的解决方法正是因子模型，并运用蒙特卡洛模拟的方法，说明了两者的相同之处。因此，在近期的研究中，研究者经常将因子模型和copula方法等同。
关键词：信用风险；因子模型；copula方法
市场经济是一个有机的整体，在违约行为上，一个企业的违约可能造成相关的企业也随之违约。对于商业银行来说，贷款组合的信用风险度量必然要考虑违约相关性。在信用风险组合管理方面，以宏观经济因子作为违约相关性的影响因子，Vasicek（2002）和Gordy（2003）等发展了因子模型。正态单因子模型被用于Basel Ⅱ的资本计算公式中。除此之外，统计学中的连接函数——Copula函数被引入到违约相关性的度量中。本文在对因子模型和Copula方法进行介绍的基础上，指出Copula函数复杂的参数估计和计算问题的解决方法正是因子模型，并运用蒙特卡洛模拟的方法，说明了两者的相同之处。因此，在近期的研究中，研究者经常将因子模型和Copula方法等同，甚至直接称之为因子Copula模型（Factor Copula Model）。
1. 正态因子模型。Vasicek（2002）和Gordy（2003）综合阐述了正态因子模型的基本检测设和基本原理。基于信用风险度量的结构模型，当公司资产价值下降到某一特定的违约边界以下时，违约发生。检测设公司资产价值随时间的变动符合几何布朗运动，以Vi表示0时刻组合内第i家公司的资产价值，μi和σi分别表示该公司资产价值的漂移率和波动率，而Xi是标准布朗运动，服从均值为零，方差为时间间隔t的正态分布。那么，t时刻公司的资产价值可以表示为：
Vi（t）=Viexp[？滋it-1/2？滓i2t+？滓iXi]
当T时刻资产价值Vi（T）小于债务到期值Ki时，违约发生。给定债务期限为1年，违约概率表示为
PDi=P[Vi（1）正态单因子模型检测定贷款组合充分分散，只受宏观经济一个因素的影响。在这一检测设下，组合损失分布存在闭合解。若影响相关性的因子不止一个，即多因子模型，则不存在闭合解，只能采用蒙特卡罗模拟或数值方法求解。这一模型的另一个优点就是资本具有可加性。在这一模型下，对于银行来说，每个业务单元信用组合内的公司特有风险均已分散，业务单元经济资本之和等于全行经济资本，因此大大简化了资本计算的复杂性。
2. 其它分布因子模型。放开正态分布检测设，其它分布下的因子模型主要包括Hull和White（2004）的双t因子模型、Kalemanova等（2005）的正态逆高斯因子模型，均用于债务抵押债券（CDO）的定价。Escobar，Frielingsdorf和Zagst（2012）总结了上述文章，在Xi与Zi、Y满足线性关系的情况下，检测设Y与Zi均服从t分布和逆高斯分布（normal inverse Gaussian distribution）的情况，并提出了在Xi与Zi、Y非线性关系的情况下，Y与Zi均服从正态分布，而Xi服从t分布，即单t因子模型（Simple Student t Factor Model）。
在双t因子模型中，检测设Y与Zi服从自由度为ν和ωi的t分布，而
Xi的均值为零，方差为1。在这一模型中，Xi的分布较难确定。Hull和White（2004）和Kalemanova等（2005）均指出，Xi的分布需通过数值分析的方法得出，Kalemanova等（2005）认为这一过程使计算的复杂性和计算的时间都大大增加，因此在这一模型不适合蒙特卡洛模拟。
在正态逆高斯因子模型中，Xi与Zi、Y均服从正态逆高斯分布（NIG）。
因为NIG分布的特点是可加性，所以，X也服从NIG分布。
在单t因子模型中，Xi与Zi、Y非线性关系，Y与Zi均服从正态分布，而Xi服从t分布，
W服从逆ga
Sklar（1959）提出的Copula函数概念如下：
Sklar定理：令H为具有边缘分布F和G的联合分布函数，那么，存在一个Copula函数C，满足
H（x，y）=C（F（x），G（y））如果F和G是连续的，那么，C是唯一确定的，反之，如果C是一个Copula函数，且F和G是分布函数，那么，由上式所定义的H是边缘分布F和G的联合分布函数。
Sklar定理可以扩展到多维分布的情况，详见Nelson（2006）。Sklar定理实际上是将具有n个变量的联合分布分解为它的n个边际分布和一个Copula函数，这个函数则描述了变量间的相依性。
根据Copula函数的定义，Copula方法主要优点在于，它可以将
目前Copula函数在实际应用中的主要问题是函数形式的选择，采用不同形式的模型可能导致不同的分析结果。椭圆类Copula 和阿基米德（Archimedean）类Copula是实际研究中常用到的类型。椭圆Copula 主要包括正态Copula和t Copula。正态Copula 的相关结构是最基本的相关结构，为大多数人熟知。在N维的情况下，共有N（N+1）/2个两两相关系数，再加上N个边缘分布概率，多元正态Copula函数所需参数数量为（N（N+1）/2+N）。与正态Copula函数一样，t Copula函数也是对称分布的，不同的是，t Copula函数是厚尾分布。缺点在于，计算也很复杂。阿基米德类Copula函数类型主要包括Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula等。它们有一个共同的性质是，它们都可以由一个连续、严格单调递减的凸函数φ（t）产生，φ（t）称为生成元（Generator）。阿基米德Copula函数由它们的生成元唯一确定。它们具有构造模型方便、计算简单、包含了各种各样的分布特征的Copula函数。但詹原瑞，刘俊梅（2012）指出，椭圆类Copula函数运用相关系数矩阵反映组合内资产间的两两相关关系，而阿基米德类Copula函数则要求组合内资产间的相关关系是一致的，这是阿基米德类Copula函数的缺陷。
Li（2000）首次将Copula函数用于违约相关性的度量，主要考虑了正态Copula函数，并指出CreditMetrics的组合管理虽然没有明确使用Copula函数的概念，但实际运用了正态Copula函数。Giesecke（2003）将Copula应用于不完全信息模型下的组合管理中，讨论了在信息不完全的新情景下，信用传染问题。国内，朱世武（2005）对如何运用Copula函数信用衍生品的定价和贷款组合的信用风险管理进行了探讨。徐志春（2008）运用Copula函数来改进CreditMetrics模型，采用Monte Carlo模拟方法来进行研究。白保中等（2009）利用17家公司的评级转移概率等数据，运用Copula方法计算信用在险值（VaR），并与运用传统正态模拟方法模拟的结果进行比较。詹原瑞，刘俊梅（2012）认为行业因素在宏观经济因素和公司资产收益之间起到了媒介的作用，检测设组合中各项资产收益只涉及一个行业，利用Copula函数对各行业的相关性建模。
拟，产生两个相关的标准化资产价值X1和X2的过程如下：
第一步，产生三个服从均匀分布U（0，1）的独立变量u、u1和u2；
第二步，令Y=N-1（u），Z1=N-1（u1），Z2=N-1（u2）；
而要产生相关系数为ρ、服从标准正态分布的n个变量的方法就是产生n+1个服从均匀分布U（0，1）的独立变量后进行上述计算。
2. Copula方法的蒙特卡洛模拟。在Copula方法下，在保持相关结构不变的前提下，将模拟n个服从F（X）分布的相关变量转化为模拟n个服从均匀分布U（0，1）的相关变量。运用正态Copula函数进行蒙特卡洛模拟，产生两个相关的服从标准正态分布的标准化资产价值X1和X2的过程如下：
第一步，产生三个服从均匀分布U（0，1）的独立变量u、u1和u2；
第三步，令U=u，V1=N（A1），V2=N（A2），得到相关系数为ρ、服从均匀分布U（0，1）的变量U、V1和V2；
第四步，令Y=F-1（U），X1=F-1（V1），X2=F-1（V2），就得到相关系数为ρ、服从F（X）的变量Y、X1和X2。若Y、X1和X2服从标准正态分布，那么
Y=G（U）
同正态因子模型下一样，Y表示系统因子，Z1=G（u1）和，Z2=G（u2）是影响X1和X2的特有因子，虽然中间的过程有所不同，但是，最终都得到相关系数为ρ、服从标准正态分布的两个变量X1和X2。
检测设贷款组合内包含n笔违约概率、违约损失率、违约风险暴露和相关系数均相等的贷款，在获得存在相关性的标准化资产价值后，无论是因子模型还是Copula方法，后续运用蒙特卡洛模拟计算经济资本的过程如下：
第一步，将产生的n个标准化资产价值Xi与该组合的标准化违约边界N-1（PD）比较，当Xi小于它时，违约发生，设置哑变量di=1，否则di=0；
第二步，计算组合损失=ΣEAD×LGD×di；
第三步，重复上万次模拟，每次模拟都可以得到一个组合损失，就可以得到组合损失的分布，可以计算不同置信水平下的在险值（VaR），减去预期损失ΣEAD×LGD×PD×n后，就得到组合的经济资本。
扩展到其它分布，Copula方法可以让边缘分布和联合分布不同，因子模型同样能够做到，如前述单t因子模型，Y和Z服从标准正态分布，而X服从t分布。因此，在近期的研究中，研究者经常将因子模型和Copula方法等同，甚至直接称之为因子Copula模型，如Hull和White（2004）。
参考文献：
1.Vasicek O.The Distribution of Loan Port- folio Value.Risk，2002，（10）.
2.Escobar M， Frielingsdorf T， Zagst R. Impact of factor models on portfolio risk measu- res： a structural approach.The Journal of Credit Risk，2012，（8）：47-79.
3.Nelsen R.An Introduction to Copulas（2nd Edition）.New York： Springer-Verlag，2006.
基金项目：教育部人文社会科学重点研究基地基金（项目号：12D790011）。
作者简介：傅元略，厦门大学管理学院会计系教授、博士生导师；张榆，厦门大学管理学院博士生。
收稿日期：2013-06-08。
关键词：信用风险；因子模型；copula方法
市场经济是一个有机的整体，在违约行为上，一个企业的违约可能造成相关的企业也随之违约。对于商业银行来说，贷款组合的信用风险度量必然要考虑违约相关性。在信用风险组合管理方面，以宏观经济因子作为违约相关性的影响因子，Vasicek（2002）和Gordy（2003）等发展了因子模型。正态单因子模型被用于Basel Ⅱ的资本计算公式中。除此之外，统计学中的连接函数——Copula函数被引入到违约相关性的度量中。本文在对因子模型和Copula方法进行介绍的基础上，指出Copula函数复杂的参数估计和计算问题的解决方法正是因子模型，并运用蒙特卡洛模拟的方法，说明了两者的相同之处。因此，在近期的研究中，研究者经常将因子模型和Copula方法等同，甚至直接称之为因子Copula模型（Factor Copula Model）。
一、 因子模型（Factor Models）
考察贷款组合内贷款公司的违约相关性时，无法通过历史违约数据来估计违约相关性，因为这些公司的违约之间有相关性，但实际上并未同时违约甚至并未违约，因此，一般用公司资产价值的相关性来替代违约相关性。以此为基础，因子模型的基本观点是：公司资产价值的相关性主要受到一些经济因素，如宏观经济因素Y的影响。检测设Y服从正态分布，Vasicek（2002）提出了正态因子模型。放开这一检测设，就得到其他分布因子模型。1. 正态因子模型。Vasicek（2002）和Gordy（2003）综合阐述了正态因子模型的基本检测设和基本原理。基于信用风险度量的结构模型，当公司资产价值下降到某一特定的违约边界以下时，违约发生。检测设公司资产价值随时间的变动符合几何布朗运动，以Vi表示0时刻组合内第i家公司的资产价值，μi和σi分别表示该公司资产价值的漂移率和波动率，而Xi是标准布朗运动，服从均值为零，方差为时间间隔t的正态分布。那么，t时刻公司的资产价值可以表示为：
Vi（t）=Viexp[？滋it-1/2？滓i2t+？滓iXi]
当T时刻资产价值Vi（T）小于债务到期值Ki时，违约发生。给定债务期限为1年，违约概率表示为
PDi=P[Vi（1）
2. 其它分布因子模型。放开正态分布检测设，其它分布下的因子模型主要包括Hull和White（2004）的双t因子模型、Kalemanova等（2005）的正态逆高斯因子模型，均用于债务抵押债券（CDO）的定价。Escobar，Frielingsdorf和Zagst（2012）总结了上述文章，在Xi与Zi、Y满足线性关系的情况下，检测设Y与Zi均服从t分布和逆高斯分布（normal inverse Gaussian distribution）的情况，并提出了在Xi与Zi、Y非线性关系的情况下，Y与Zi均服从正态分布，而Xi服从t分布，即单t因子模型（Simple Student t Factor Model）。
在双t因子模型中，检测设Y与Zi服从自由度为ν和ωi的t分布，而
Xi的均值为零，方差为1。在这一模型中，Xi的分布较难确定。Hull和White（2004）和Kalemanova等（2005）均指出，Xi的分布需通过数值分析的方法得出，Kalemanova等（2005）认为这一过程使计算的复杂性和计算的时间都大大增加，因此在这一模型不适合蒙特卡洛模拟。
在正态逆高斯因子模型中，Xi与Zi、Y均服从正态逆高斯分布（NIG）。
因为NIG分布的特点是可加性，所以，X也服从NIG分布。
在单t因子模型中，Xi与Zi、Y非线性关系，Y与Zi均服从正态分布，而Xi服从t分布，
W服从逆ga
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mma分布，参数α=β=1/2ν。二、 Copulas方法
Copula这个词来源于拉丁文，意思是“连接”，最早出现于1959年的一篇统计方面的文献Sklar（1959）中。在这篇文献中，作者指出，联合分布可以分解为它的n个边缘分布和一个Copula函数，其中，变量之间的相关性由Copula函数来体现。Copula函数实际上是一种将联合分布与它们各自的边缘分布连接在一起的函数，因此也有人将它称为连接函数（张尧庭，2002）。Schweizer和Wolff（1981）最早将Copula运用于随机变量的相关性研究中。而Copula的进一步发展得益于Joe（1997）和Nelson（1999）对其的系统介绍。Nelson在2006年又出版了该书的第二版。在20世纪90年代后期，Copula理论开始运用到金融等相关领域，并得到快速的发展。Sklar（1959）提出的Copula函数概念如下：
Sklar定理：令H为具有边缘分布F和G的联合分布函数，那么，存在一个Copula函数C，满足
H（x，y）=C（F（x），G（y））如果F和G是连续的，那么，C是唯一确定的，反之，如果C是一个Copula函数，且F和G是分布函数，那么，由上式所定义的H是边缘分布F和G的联合分布函数。
Sklar定理可以扩展到多维分布的情况，详见Nelson（2006）。Sklar定理实际上是将具有n个变量的联合分布分解为它的n个边际分布和一个Copula函数，这个函数则描述了变量间的相依性。
根据Copula函数的定义，Copula方法主要优点在于，它可以将
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随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究，并且，确定了一维边缘分布和Copula函数就可以确定联合分布。定义合适的边缘分布函数，并选择合适的Copula函数，建模的过程就已完成。可以保持边缘分布函数不变，而改变Copula函数，反之亦然。因此建立在Copula理论上的模型更实用、更有效，可以广泛应用于风险管理、资产定价和多变量金融时间序列分析等方面，例如本文所探讨的组合信用风险度量。目前Copula函数在实际应用中的主要问题是函数形式的选择，采用不同形式的模型可能导致不同的分析结果。椭圆类Copula 和阿基米德（Archimedean）类Copula是实际研究中常用到的类型。椭圆Copula 主要包括正态Copula和t Copula。正态Copula 的相关结构是最基本的相关结构，为大多数人熟知。在N维的情况下，共有N（N+1）/2个两两相关系数，再加上N个边缘分布概率，多元正态Copula函数所需参数数量为（N（N+1）/2+N）。与正态Copula函数一样，t Copula函数也是对称分布的，不同的是，t Copula函数是厚尾分布。缺点在于，计算也很复杂。阿基米德类Copula函数类型主要包括Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula等。它们有一个共同的性质是，它们都可以由一个连续、严格单调递减的凸函数φ（t）产生，φ（t）称为生成元（Generator）。阿基米德Copula函数由它们的生成元唯一确定。它们具有构造模型方便、计算简单、包含了各种各样的分布特征的Copula函数。但詹原瑞，刘俊梅（2012）指出，椭圆类Copula函数运用相关系数矩阵反映组合内资产间的两两相关关系，而阿基米德类Copula函数则要求组合内资产间的相关关系是一致的，这是阿基米德类Copula函数的缺陷。
Li（2000）首次将Copula函数用于违约相关性的度量，主要考虑了正态Copula函数，并指出CreditMetrics的组合管理虽然没有明确使用Copula函数的概念，但实际运用了正态Copula函数。Giesecke（2003）将Copula应用于不完全信息模型下的组合管理中，讨论了在信息不完全的新情景下，信用传染问题。国内，朱世武（2005）对如何运用Copula函数信用衍生品的定价和贷款组合的信用风险管理进行了探讨。徐志春（2008）运用Copula函数来改进CreditMetrics模型，采用Monte Carlo模拟方法来进行研究。白保中等（2009）利用17家公司的评级转移概率等数据，运用Copula方法计算信用在险值（VaR），并与运用传统正态模拟方法模拟的结果进行比较。詹原瑞，刘俊梅（2012）认为行业因素在宏观经济因素和公司资产收益之间起到了媒介的作用，检测设组合中各项资产收益只涉及一个行业，利用Copula函数对各行业的相关性建模。
三、 Copula方法与因子模型的趋同
本文以正态单因子模型和正态Copula函数为例，说明运用因子模型和Copula方法进行蒙特卡洛模拟，获得的相关的标准化资产价值，结果是相同的，以此说明二者的相通性。拟，产生两个相关的标准化资产价值X1和X2的过程如下：
第一步，产生三个服从均匀分布U（0，1）的独立变量u、u1和u2；
第二步，令Y=N-1（u），Z1=N-1（u1），Z2=N-1（u2）；
而要产生相关系数为ρ、服从标准正态分布的n个变量的方法就是产生n+1个服从均匀分布U（0，1）的独立变量后进行上述计算。
2. Copula方法的蒙特卡洛模拟。在Copula方法下，在保持相关结构不变的前提下，将模拟n个服从F（X）分布的相关变量转化为模拟n个服从均匀分布U（0，1）的相关变量。运用正态Copula函数进行蒙特卡洛模拟，产生两个相关的服从标准正态分布的标准化资产价值X1和X2的过程如下：
第一步，产生三个服从均匀分布U（0，1）的独立变量u、u1和u2；
第三步，令U=u，V1=N（A1），V2=N（A2），得到相关系数为ρ、服从均匀分布U（0，1）的变量U、V1和V2；
第四步，令Y=F-1（U），X1=F-1（V1），X2=F-1（V2），就得到相关系数为ρ、服从F（X）的变量Y、X1和X2。若Y、X1和X2服从标准正态分布，那么
Y=G（U）
同正态因子模型下一样，Y表示系统因子，Z1=G（u1）和，Z2=G（u2）是影响X1和X2的特有因子，虽然中间的过程有所不同，但是，最终都得到相关系数为ρ、服从标准正态分布的两个变量X1和X2。
检测设贷款组合内包含n笔违约概率、违约损失率、违约风险暴露和相关系数均相等的贷款，在获得存在相关性的标准化资产价值后，无论是因子模型还是Copula方法，后续运用蒙特卡洛模拟计算经济资本的过程如下：
第一步，将产生的n个标准化资产价值Xi与该组合的标准化违约边界N-1（PD）比较，当Xi小于它时，违约发生，设置哑变量di=1，否则di=0；
第二步，计算组合损失=ΣEAD×LGD×di；
第三步，重复上万次模拟，每次模拟都可以得到一个组合损失，就可以得到组合损失的分布，可以计算不同置信水平下的在险值（VaR），减去预期损失ΣEAD×LGD×PD×n后，就得到组合的经济资本。
扩展到其它分布，Copula方法可以让边缘分布和联合分布不同，因子模型同样能够做到，如前述单t因子模型，Y和Z服从标准正态分布，而X服从t分布。因此，在近期的研究中，研究者经常将因子模型和Copula方法等同，甚至直接称之为因子Copula模型，如Hull和White（2004）。
参考文献：
1.Vasicek O.The Distribution of Loan Port- folio Value.Risk，2002，（10）.
2.Escobar M， Frielingsdorf T， Zagst R. Impact of factor models on portfolio risk measu- res： a structural approach.The Journal of Credit Risk，2012，（8）：47-79.
3.Nelsen R.An Introduction to Copulas（2nd Edition）.New York： Springer-Verlag，2006.
基金项目：教育部人文社会科学重点研究基地基金（项目号：12D790011）。
作者简介：傅元略，厦门大学管理学院会计系教授、博士生导师；张榆，厦门大学管理学院博士生。
收稿日期：2013-06-08。