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摘 要：数学试卷讲评课是高中数学学习过程中的重要课型，对于高三更是常规课。那么，一份试卷在一两节课上如何收到最好的效益？多数教师都侧重于教师的“讲”与“评”，而忽视学生的“感”与“悟”，收效甚微。有一种现象足以说明问题“一些考过、讲过、订正过的试题，下次遇到还会错。”原因何在？学生是考试真正的参与者和体验者，试卷讲评应从“教师的积极讲评”转移到“
关键词：试卷讲评；学生感悟；效果
想方设法把试卷中的问题巧妙地摆出来，让学生通过独立的思考与讨论、彼此的交流与合作从而获得真正的理解。这样印象才更深刻，记忆更久远，收益更全面，效果远胜于教师独自讲评的千言万语。下面笔者谈谈关于试卷讲评的一点尝试。
案例 已知函数f（x）2x+1，x≥0
1，x<0则满足不等式f（1-x2）>f（2x）的取值范围。（ ）
本题是模拟试卷中的一道题，错误率很高。有部分同学出现
“0≤x< -1”的错误答案，原因何在？怎样才能发现学生错误的根源，并使其认识自己的错因呢？我叫了几位成绩较好的同学回答解题的过程。
学生1：先画出函数草图，由图知当x≥0时，f（x）单调递增，所以要使f（1-x2）>f（2x）成立，必须1-x2>2x≥0解得0≤x< -1。
学生2：分段讨论，当x≥0时，1-x2>2x≥0解得0≤x< -1；当x<0时，f（x）=1，则f（1-x2）>f（2x）不成立。综上得0≤x< -1。
看到了两个同学用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同学喜笑颜开，但是教室里出现更多的是不敢苟同的声音，课堂气氛立刻热烈起来，在大家的共同讨论下，终于找到了症结所在。原来学生1忽略了2x还可以小于零的情况；而学生2只按照分段函数的两段讨论，忽视了两个数分别位居不同两段的情况，还可以由1-x2≥0
2x<0同时发现，本题虽是“分段函数”但无需讨论求解，直接由1-x2>0
1-x2>2x得出正确答案-1看来，通过展示错误的方式，全体学生共同参与，互动交流，通力合作，寻根究底，纠偏归正，这样得出的结果学生还会忘吗？这是教师独自讲评无法比拟的，其收获的不仅仅是知识，更培养了自我探究、合作交流的学习精神。
案例1 集合x/ <0B={x/x>1}则A∩B=（ ）
A.{x/-13}
C.{x/-2} D.{x/1有关集合内容的小题在各种考试中排在第一或第二题的位置，属于容易题，正确率几乎每次都是100%，几乎没讲过，但一次考试中偶然发现，学生大多这样解：
解法1：由 <0得-2上述解法中规中矩，无可挑剔。
试卷讲评时，笔者问这道题的考点是什么。
学生说是分式不等式的解法和集合的运算两个考点，其他学生也不否认。
能不能有其他更好的方法？20秒能否做出来？
另一名学生立即明白了，得出解法2。
解法2：因为A∩B是B的子集，所以A∩B的范围比B的范围小，所以选D。
案例2 已知α，β均为锐角，cos（α+β）=sin（α-β），则tanα=（ ）。
一个学生是这样解的
解：由cos（α+β）=sin（α-β）得cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosα sinβ；
整理得cosα（cosβ+sinβ）=sinα（sinα+cosβ）。
由α，β，均为锐角，所以sinβ+cosβ≠0，因此cosα+sinαtanα=1。
学生的解答的确是天衣无缝，滴水不漏，其“誓将运算进行到底“的坚毅精神，令人赞叹不已！但似乎有些小题大做。这时传来了之声：
另一名学生这样解：
因为cos（ -α）=sinα，只要满足x+x′=2Kπ+ ，就有cosx=sinx′又α，β为锐角，所以只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，
tanα=1。
看来，我们在做题时，特别是选择填空题我们要的不仅是正确答案，也要的是速度。要学会“先思题，再做题”，要学会“少点算，多点想”。不该算的就不算，该算的也要学会巧算，简算，估算。为高考中的解答题赢取更多的时间。
有了这样的认识，发现同学们长进了不少。
案例 2011年高考数学浙江卷文科16题：若x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是（ ）。
本题的考点是均值不等式和学生的灵活应用能力。相应的解析为由x2+y2+xy=1得（x+y）2=1+xy，（x+y）2=1+xy≤1+ ； 解得- ≤x+y≤ ；
所以x+y的最大值是 。
本题是一道填空题，多数人认为这样的解法就够了，我们不妨尝试用其他方法来解，会发现有异曲同工之妙，下面来借鉴
一下。
解法2：设x+y=t将其代入y=t-x中，得x2+y2+xy=1，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；因为关于x的方程有实数解，故Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；
解得- ≤x+y≤ ；
所以x+y的最大值是 。
解法3：设x+y=t，则y=t-x，将其代入x2+y2+xy=1中，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；
用“直线与椭圆相切的条件”有Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；
解得t=± ；
所以x+y的最大值是 。
解法3：由x，y满足x2+y2+xy=1知，x，y即可同号，又可异号，因为求x+y的最大值，故x，y同正，此时，想到余弦定理有x2+y2-2xycos120°=1构造三角形，再由正弦定理得 = = ；
从而x+y= sinα+ sin（60°-α）= sin（α+60°）；
当α=30°时，x+y的最大值是 。
解法4：令x+y=t，则y=t-x原问题化为：已知3a2+b2=1，求2a的最大值.
由3a2+b2=1得3a2=1-b2<1，即a2≤ ，所以a≤ ；
因此2a的最大值为 。
当然此题还可用柯西不等式，向量等方法，不再一一作介绍。
在平时的试卷讲评中，教师往往不做这样的引导与阐述，总是讲这种方法，那种套路，还有何种技巧。如果试卷讲评时，教师切合试题经常性的给学生还原试题的真面目，一题多解，用不同的解题方法，拓宽学生视野，并认识各种方法优略，那么数学解题就是一种全面的思维升华，一种美好享受的过程。
试卷讲评是一种艺术，我们只是行走在探索追求的路上。“展示错误，寻
（作者单位 陕西省兴平市教育局）
摘自：硕士论文答辩技巧www.udooo.com
学生的主动参与上”，应以学生为主体，教师为引导。关键词：试卷讲评；学生感悟；效果
想方设法把试卷中的问题巧妙地摆出来，让学生通过独立的思考与讨论、彼此的交流与合作从而获得真正的理解。这样印象才更深刻，记忆更久远，收益更全面，效果远胜于教师独自讲评的千言万语。下面笔者谈谈关于试卷讲评的一点尝试。
一、展示错误，寻求错因
纠错是试卷讲评的重要板块，每个教师都很重视，笔者认为教师不能仅仅讲评正确答案的由来，津津乐道，有条有理，学生积极配合，看似听懂，实质还是不会。原因是学生跟着教师的思路听而自己根本没有独立思考，也没有发现自己错在什么地方，所以遇到类似的问题还会重犯。我们应寻求学生错误的源头，采用恰当的方法让学生充分暴露自己的错误，进而让他们在相互之间的思维碰撞与互相交流中自然释疑纠错、纠偏，归真归正。案例 已知函数f（x）2x+1，x≥0
1，x<0则满足不等式f（1-x2）>f（2x）的取值范围。（ ）
本题是模拟试卷中的一道题，错误率很高。有部分同学出现
“0≤x< -1”的错误答案，原因何在？怎样才能发现学生错误的根源，并使其认识自己的错因呢？我叫了几位成绩较好的同学回答解题的过程。
学生1：先画出函数草图，由图知当x≥0时，f（x）单调递增，所以要使f（1-x2）>f（2x）成立，必须1-x2>2x≥0解得0≤x< -1。
学生2：分段讨论，当x≥0时，1-x2>2x≥0解得0≤x< -1；当x<0时，f（x）=1，则f（1-x2）>f（2x）不成立。综上得0≤x< -1。
看到了两个同学用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同学喜笑颜开，但是教室里出现更多的是不敢苟同的声音，课堂气氛立刻热烈起来，在大家的共同讨论下，终于找到了症结所在。原来学生1忽略了2x还可以小于零的情况；而学生2只按照分段函数的两段讨论，忽视了两个数分别位居不同两段的情况，还可以由1-x2≥0
2x<0同时发现，本题虽是“分段函数”但无需讨论求解，直接由1-x2>0
1-x2>2x得出正确答案-1
二、优化解法，加快速度
纠错是首选之举，那么对于试卷中的对题就置之不理吗？他们就对的那么一致吗？特别是对于选择题和填空题，我们能否做到在单位时间内达到“对而快，快而准”吗？案例1 集合x/ <0B={x/x>1}则A∩B=（ ）
A.{x/-1
C.{x/-2} D.{x/1
解法1：由 <0得-2
试卷讲评时，笔者问这道题的考点是什么。
学生说是分式不等式的解法和集合的运算两个考点，其他学生也不否认。
能不能有其他更好的方法？20秒能否做出来？
另一名学生立即明白了，得出解法2。
解法2：因为A∩B是B的子集，所以A∩B的范围比B的范围小，所以选D。
案例2 已知α，β均为锐角，cos（α+β）=sin（α-β），则tanα=（ ）。
一个学生是这样解的
解：由cos（α+β）=sin（α-β）得cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosα sinβ；
整理得cosα（cosβ+sinβ）=sinα（sinα+cosβ）。
由α，β，均为锐角，所以sinβ+cosβ≠0，因此cosα+sinαtanα=1。
学生的解答的确是天衣无缝，滴水不漏，其“誓将运算进行到底“的坚毅精神，令人赞叹不已！但似乎有些小题大做。这时传来了之声：
另一名学生这样解：
因为cos（ -α）=sinα，只要满足x+x′=2Kπ+ ，就有cosx=sinx′又α，β为锐角，所以只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，
tanα=1。
看来，我们在做题时，特别是选择填空题我们要的不仅是正确答案，也要的是速度。要学会“先思题，再做题”，要学会“少点算，多点想”。不该算的就不算，该算的也要学会巧算，简算，估算。为高考中的解答题赢取更多的时间。
有了这样的认识，发现同学们长进了不少。
三、发散提升，还原本质
人常说“万变不离其宗”那么对于数学解题也是一样，我们只要认清它的“本真面目”，那么数学解题就会轻松自如，自然而然了。案例 2011年高考数学浙江卷文科16题：若x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是（ ）。
本题的考点是均值不等式和学生的灵活应用能力。相应的解析为由x2+y2+xy=1得（x+y）2=1+xy，（x+y）2=1+xy≤1+ ； 解得- ≤x+y≤ ；
所以x+y的最大值是 。
本题是一道填空题，多数人认为这样的解法就够了，我们不妨尝试用其他方法来解，会发现有异曲同工之妙，下面来借鉴
一下。
解法2：设x+y=t将其代入y=t-x中，得x2+y2+xy=1，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；因为关于x的方程有实数解，故Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；
解得- ≤x+y≤ ；
所以x+y的最大值是 。
解法3：设x+y=t，则y=t-x，将其代入x2+y2+xy=1中，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；
用“直线与椭圆相切的条件”有Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；
解得t=± ；
所以x+y的最大值是 。
解法3：由x，y满足x2+y2+xy=1知，x，y即可同号，又可异号，因为求x+y的最大值，故x，y同正，此时，想到余弦定理有x2+y2-2xycos120°=1构造三角形，再由正弦定理得 = = ；
从而x+y= sinα+ sin（60°-α）= sin（α+60°）；
当α=30°时，x+y的最大值是 。
解法4：令x+y=t，则y=t-x原问题化为：已知3a2+b2=1，求2a的最大值.
由3a2+b2=1得3a2=1-b2<1，即a2≤ ，所以a≤ ；
因此2a的最大值为 。
当然此题还可用柯西不等式，向量等方法，不再一一作介绍。
在平时的试卷讲评中，教师往往不做这样的引导与阐述，总是讲这种方法，那种套路，还有何种技巧。如果试卷讲评时，教师切合试题经常性的给学生还原试题的真面目，一题多解，用不同的解题方法，拓宽学生视野，并认识各种方法优略，那么数学解题就是一种全面的思维升华，一种美好享受的过程。
试卷讲评是一种艺术，我们只是行走在探索追求的路上。“展示错误，寻
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求错因”“优化解法，加快速度”“发散提升，还原本质”只是笔者自己对试卷讲评的一种尝试，望尽我的一些微薄之力，能给这艺术之路增添一点光彩。（作者单位 陕西省兴平市教育局）