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摘要：在分析了D.L.Donoho提出的硬阈值、软阈值小波去噪算法存在问题的基础上，构造了一个新阈值函数。新阈值函数的小波阈值去噪方法克服了硬阈值函数不连续的缺点，解决了软阈值函数中存在恒定偏差的问题。仿真实验结果表明，该方法可以有效地去除白噪声干扰，在信噪比和均方误差等方面均优于常用的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法，去噪后的信号与原始信号的近似性也较好，充分体现出小波阈值去噪方法的优越性。
摘要：小波去噪阈值函数信噪比均方误差
1007-9416（2012）09-0043-03
其中为含噪信号，为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从分布[6]。
对作离散小波变换，可得：
其中，，，分别为含噪信号，原始信号和噪声在第层上的小波分解系数；为小波变换的最大分解层数；为信号的长度。
小波变换是线性变换，因此对含噪信号作离散小波变换后，得到的小波系数，为方便起见记为，仍由两部分组成：一部分是原始信号的小波系数，记为，另一部分是噪声对应的小波系数，记为。
Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是：当小于某个临界阈值时，认为这时的主要由噪声引起的，可将其舍去；当大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要由信号引起的，那么就把这一部分的直接保留下来（硬阈值法）或者按照某一个固定量向零收缩（软阈值法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。此方法可通过以下3个步骤实现：
（1）选定合适的小波基及小波变换的分解层数对带噪信号作小波变换，可以得到一组不同分解层数的小波变换系数；
（2）确定各层高频系数的阈值及阈值函数，通过对小波分解高频系数进行阈值量化处理，得出估计小波系数，使得尽量小；
（3）小波重构，利用进行小波重构，得到去噪后的估计信号。
小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理，这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取，本文只针对阈值函数的选取进行研究。
D.L.Donoho提出的硬阈值函数为：
软阈值函数为：
其中，为符号函数，阈值取为。Donoho在文献中证明了由此方法得到的估计信号在最小均方差意义上是有效的。
硬阈值函数表明，大于阈值的小波系数主要是由真实信号引起的，对这些系数予以全部保留，认为其他的系数主要是由噪声贡献的，故将它们全部置零[2-5]。其图形如图1所示。软阈值函数对小波系数采用另外一种处理策略，它把大于阈值的系数按从到零进行收缩的办法予以保留，把其他的置零，因此软阈值函数也被称为小波收缩函数[2-5]。其图形如图1所示。
基于以上分析及软、硬阈值函数的不足，这里提出了一种新的阈值函数，其函数表达式如下：
其中为调节因子，可以取任意正常数，一般取正整数。
由表达式（5）可以看出，该函数不仅在小波域内是连续的，而且在和内具有高阶导数。当趋于无穷大时，新阈值函数趋近于硬阈值函数。新阈值函数及软、硬阈值函数图形如图2所示。从图2中我们可以看出，这里构造的新的阈值函数不仅具有硬、软阈值函数的优点，而且克服了它们的缺点，是硬、软阈值函数的一个很好改进方案。如图2所示在内，新阈值函数对小波系数采取的是缓变地压缩处理，随着小波系数的增大，压缩量逐渐减小，当小波系数大于一定值时，不再进行压缩处理，这样做符合对大于阈值的小波系数进行处理，能够比较好地处理有用信号中存在的噪声分量。在内，新阈值函数也没有直接将小波系数置零，而是有一个缓变到零的过程，这样有利于防止阈值设置过大时能够保留部分信号的小波系数，从而有利于重构后保持原信号的波形。同时为了便于比较这里引入折中阈值函数的方法，其函数表达式如下：
当分别取0和1时，上式既为硬阈值法和软阈值法。适当的调整值，可以获得更好的去噪效果，可以看作是软阈值和硬阈值法的折衷方案。其图形如图2中所示。
其中，表示标准原始信号，表示经处理后的估计信号，表示信号长度。
4、结语
本文在分析Donoho软、硬阈值函数的缺点的基础上，构造了一种新的阈值函数。通过仿真实验表明，新阈值函数取得了较为理想的去噪效果，在信噪比和均方误差定量指标上均优于传统的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法，同时还能够很好的保持原始信号的特征，具有一定的工程应用价值。需要指出的是，小波变换信号去噪效果的提高不仅与选用的阈值函数有关，还与选用的小波基函数及阈值规则有关。本文选取的小波基函数及阈值规则并不是最优的，具体情况下的小波基函数及最优阈值是以后需要继续加以研究的问题，以使本文构造的新阈值函数达到更满意的去噪效果。
参考文献
飞思科技产品研发中心编著.小波分析理论与MATLAB 7 实现[M].北京： 电子工业出版社，2005.3.
DONOHO DL. De-noising by soft thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory，1995，41（3）：613-627.
[3]Zhang， Xiao-Ping， M. Desai. Adaptive de-noising based on SURE risk [J]. IEEE Signal Processing Letters， 1998，5（10）：265-267.
[4]Zhang Xiao-Ping， M. Desai. Nonlinear a
[5]曲天书，戴逸松，王树勋.基于SURE无偏估计的自适应小波阈值去噪[J].电子学报，2002，30（2）：266-268.
[6]叶裕雷，戴文战.一种基于新阈值函数的小波信号去噪方法[J].计算机应用，2006，26（7）：1617-1619.
摘要：小波去噪阈值函数信噪比均方误差
1007-9416（2012）09-0043-03
摘自：硕士论文答辩www.udooo.com
信号在产生、传输以及接收过程中，会不可避免的受到各种噪声的污染，因此信号去噪无论在工程应用还是理论研究中一直是研究的热门话题。小波变换是近十年来发展起来的一种新的信号处理工具，由于其特有的多分辨率分析技术，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，使它在信号处理方面应用非常广泛。Donoho在小波变换的基础上提出了小波阈值去噪方法，并证明了该方法在最小方差意义下可达到最佳估计值，而其它线性估计则无法达到同样的效果。但是，阈值法中的阈值函数存在着一定的缺陷，如软阈值函数中得到的小波系数与信号的小波系数之间存在着恒定偏差，硬阈值函数具有不连续性，对大于阈值的小波系数不处理等，这些都在不同方面影响着去噪的效果[3-4]。为了克服软、硬阈值函数的缺点，取得更好的去噪效果，本文提出了一种新的阈值函数，新阈值函数在保持了很好的连续性的同时，对不同值的小波系数也做了更为合理的收缩处理，使其与信号真实值更加逼近。仿真实验表明， 新阈值函数去噪重构后得到的估计信号既能很好地保留信号细节，又具有较好的光滑性，去噪效果要明显优于其他阈值函数。1、小波阈值去噪原理
检测设有如下一观测信号其中为含噪信号，为原始信号，为方差为的高斯白噪声，服从分布[6]。
对作离散小波变换，可得：
其中，，，分别为含噪信号，原始信号和噪声在第层上的小波分解系数；为小波变换的最大分解层数；为信号的长度。
小波变换是线性变换，因此对含噪信号作离散小波变换后，得到的小波系数，为方便起见记为，仍由两部分组成：一部分是原始信号的小波系数，记为，另一部分是噪声对应的小波系数，记为。
Donoho提出的小波阈值去噪方法的基本思想是：当小于某个临界阈值时，认为这时的主要由噪声引起的，可将其舍去；当大于这个临界阈值时，认为这时的小波系数主要由信号引起的，那么就把这一部分的直接保留下来（硬阈值法）或者按照某一个固定量向零收缩（软阈值法），然后用新的小波系数进行小波重构得到去噪后的信号。此方法可通过以下3个步骤实现：
（1）选定合适的小波基及小波变换的分解层数对带噪信号作小波变换，可以得到一组不同分解层数的小波变换系数；
（2）确定各层高频系数的阈值及阈值函数，通过对小波分解高频系数进行阈值量化处理，得出估计小波系数，使得尽量小；
（3）小波重构，利用进行小波重构，得到去噪后的估计信号。
小波阈值去噪方法的关键步骤是阈值处理，这部分包括阈值的估计和阈值函数的选取，本文只针对阈值函数的选取进行研究。
D.L.Donoho提出的硬阈值函数为：
软阈值函数为：
其中，为符号函数，阈值取为。Donoho在文献中证明了由此方法得到的估计信号在最小均方差意义上是有效的。
硬阈值函数表明，大于阈值的小波系数主要是由真实信号引起的，对这些系数予以全部保留，认为其他的系数主要是由噪声贡献的，故将它们全部置零[2-5]。其图形如图1所示。软阈值函数对小波系数采用另外一种处理策略，它把大于阈值的系数按从到零进行收缩的办法予以保留，把其他的置零，因此软阈值函数也被称为小波收缩函数[2-5]。其图形如图1所示。
2、一种新的阈值函数构造
尽管软硬阈值去噪方法在实际中得到了广泛的应用，也取得了一定的效果，但它们本身还是存在着缺点[6]。由图1可以看出，软阈值法得到的小波系数整体连续性比较好，不存在间断点，这会使去噪效果变得平滑，但是软阈值函数的导数是不连续的，因而在求高阶导数时会存在困难。另外软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符，会直接影响重构信号与真实信号的逼近程度；硬阈值法能较好的抑制噪声，但硬阈值处理函数在和处存在间断点是不连续的，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，这样利用小波重构信号时很可能会出现突变的震荡点，从而所得到的估计信号会产生附加的振荡，不具有同原始信号一样的光滑性，同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。以上分析表明，硬阈值函数可以保留一定的信号特征，但是在平滑方面有所欠缺；而软阈值函数通常会使去噪后信号平滑一些，但是会丢失掉某些特征。基于以上分析及软、硬阈值函数的不足，这里提出了一种新的阈值函数，其函数表达式如下：
其中为调节因子，可以取任意正常数，一般取正整数。
由表达式（5）可以看出，该函数不仅在小波域内是连续的，而且在和内具有高阶导数。当趋于无穷大时，新阈值函数趋近于硬阈值函数。新阈值函数及软、硬阈值函数图形如图2所示。从图2中我们可以看出，这里构造的新的阈值函数不仅具有硬、软阈值函数的优点，而且克服了它们的缺点，是硬、软阈值函数的一个很好改进方案。如图2所示在内，新阈值函数对小波系数采取的是缓变地压缩处理，随着小波系数的增大，压缩量逐渐减小，当小波系数大于一定值时，不再进行压缩处理，这样做符合对大于阈值的小波系数进行处理，能够比较好地处理有用信号中存在的噪声分量。在内，新阈值函数也没有直接将小波系数置零，而是有一个缓变到零的过程，这样有利于防止阈值设置过大时能够保留部分信号的小波系数，从而有利于重构后保持原信号的波形。同时为了便于比较这里引入折中阈值函数的方法，其函数表达式如下：
当分别取0和1时，上式既为硬阈值法和软阈值法。适当的调整值，可以获得更好的去噪效果，可以看作是软阈值和硬阈值法的折衷方案。其图形如图2中所示。
3、仿真实验及分析
3.1 信号去噪效果评价指标
信号去噪处理中，为了更好的更直观评判去噪方法，常用信号的信噪比（SNR）和重构信号均方误差（MSE）来描述信号的去噪效果。一般来说，SNR越大，MSE越小，表明信号去噪能力越强，去噪效果越好。其中，表示标准原始信号，表示经处理后的估计信号，表示信号长度。
3.2 实验结果及分析
为了说明新阈值函数在去噪算法中的有效性和优越性，分别用软、硬阈值函数，折中阈值函数和新阈值函数对Donoho所采用的典型测试信号Bump和Heysine在相同的条件下进行对比试验。设信号长度为2048个，输入信号的信噪比（SNR）为10.1209db，采用db4小波作为小波基，分解层数为4层，阈值采用每个尺度可变的，其中表示分解尺度，表示信号长度。仿真试验结果如图3、图4所示，去噪信号的信噪比（SNR）和均方误差（MSE）如表1、表2所示。
从上述图中，可以看出硬阈值法去噪效果不如软阈值法，软阈值法不能够很好的反映原始信号，应该出现尖峰的地方被平滑了，而新阈值法具有传统硬、软阈值方法的优点，不仅去噪效果较好，而且能够很好的恢复原始信号。从表1表2可知，本文构造的新阈值函数去噪效果在信噪比和均方误差两个性能指标上都明显优于软、硬阈值函数，并且优于折中阈值函数。以上两个方面都说明了本文构造的新阈值函数去噪的优越性。4、结语
本文在分析Donoho软、硬阈值函数的缺点的基础上，构造了一种新的阈值函数。通过仿真实验表明，新阈值函数取得了较为理想的去噪效果，在信噪比和均方误差定量指标上均优于传统的软、硬阈值及改进的软硬阈值折中算法，同时还能够很好的保持原始信号的特征，具有一定的工程应用价值。需要指出的是，小波变换信号去噪效果的提高不仅与选用的阈值函数有关，还与选用的小波基函数及阈值规则有关。本文选取的小波基函数及阈值规则并不是最优的，具体情况下的小波基函数及最优阈值是以后需要继续加以研究的问题，以使本文构造的新阈值函数达到更满意的去噪效果。
参考文献
飞思科技产品研发中心编著.小波分析理论与MATLAB 7 实现[M].北京： 电子工业出版社，2005.3.
DONOHO DL. De-noising by soft thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory，1995，41（3）：613-627.
[3]Zhang， Xiao-Ping， M. Desai. Adaptive de-noising based on SURE risk [J]. IEEE Signal Processing Letters， 1998，5（10）：265-267.
[4]Zhang Xiao-Ping， M. Desai. Nonlinear a
源于：论文模板www.udooo.com
daptive noise suppression based on welet [J].International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， Seattle， Washington， May 12-15，1998.[5]曲天书，戴逸松，王树勋.基于SURE无偏估计的自适应小波阈值去噪[J].电子学报，2002，30（2）：266-268.
[6]叶裕雷，戴文战.一种基于新阈值函数的小波信号去噪方法[J].计算机应用，2006，26（7）：1617-1619.