分类例析含参线性规划问题

题型

一、已知目标函数最值求参数

例1设变量x,y满足约束条件x≥0,y≥3x,x+ay≤7(其中a>1),若目标函数z=x+y的最大值为4，则a=______。
解析：目标函数z的最值一般在可行域的顶点处取到，则x+y=4与边界y=3x的交点（1,3）即为可行域的一个顶点，
所以该点在边界x+ay=7上，
代入解得a=2。
变式：已知x,y满足约束条件x

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－y+5≥0,x≤3,x+y+k≥0则z=2x+4y的最小值为-6，则常数k=______。
解析：2x+4y=－6与边界x－y+5=0，x=3分别交于(—133，23）和(3，—3）。
经验证，第三条边界过点(3，—3）时，z=2x+4y在该点取最小值。代入解得k=0。
总结：目标函数最值一般在可行域顶点处取到。解决此类问题需注意：最优解同时在两条边界及目标函数取最值时对应直线上。
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二、已知最优解位置求参数

例2已知变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4，－2≤x－y≤2。若目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为______。
解析：作出如图所示的可行域，由z=ax+yy=－ax+z其表示为斜率为－a，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点(3,1)处取得最大值,则直线y=－ax+z过Ａ点且在直线x+y=4,x=3（不含界线）之间，即－a<－1a>1。
则a的取值范围为(1,+
SymboleB@)。
变式：已知实数x,y满足x≥0,y≤1,2x－2y+1≤0。若目标函数z=ax+y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_____。
解析：要使目标函数z=ax+y（其中a≠0）取得最小值的最优解有无数个，
则直线y=－ax+z和边界2x－2y+1=0重合，即－a=1,则a=1。
总结：此类问题一般找目标函数所在直线斜率与边界斜率之间的关系。若直线只在某点处去最值，则将直线绕改点进行旋转，寻找目标函数所在直线斜率和边界斜率之间的关系；若目标函数最优解有无数个，则目标函数所在直线斜率必与某一边界斜率相同。
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三、已知可行域面积求参数

例3在平面直角坐标系中，若不等式组
x+y－1≥0，x－1≤0，ax－y+1≥0（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值____。
解析：边界ax－y+1=0恒过定点（0,1），则可行域为以（0,1）为顶点，底边在直线x=1上的三角形，即高为固定值

1.因面积为2，则底边长为4，所以边界ax－y+1=0过点（1,4），则a=3。

变式：在平面直角坐标系中，若不等式组x+y≥0，x－y+4≥0，x≤a
（a为常数）所表示的平面区域的面积等于9，则a的值______。
解析：如图，可行域为等腰直角三角形，经计算，a=1。
总结：此类问题中，可行域形状基本确定为三角形或梯形且面积公式中底或高为定值，利用数形结合思想可直接求解。
（作者单位：河南省济源一中）