本站原创
摘 要：数列通项公式不仅在高考中占有一席之地.而且在中学数学竞赛中也是常客。通过特征根法为某类数列求通项提供一种实用的方法.
关键词：特征方程；特征根；线性递归；非线性
数列通项公式直接表述了数列的本质。数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
我们把对应于常系数齐次线性递归数列
an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan ①
的方程xk=c1xk-1+c2xk-2+…+ck ②
称为其特征方程，方程的根称为{an}的特征根.
下面不加证明地引进两个定理：
定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k个不同的单根 x1，x2…xk，（包括虚根在内）那么an=A1xn1+A2xn2+…Akxnk，其中A1，A2，Ak是待定系数，可由初始值确定.
定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x1，x2…xs（s其中Ai（n）=B（i）1+B（i）2…+B（i）tinti-1，i=1，2…s，
这里B（i）1，B（i）2…B（i）ti（i=1，2…s）的是待定系数，可由初始值确定.
下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2+an+1+an=0，n=1，2… 求数列{an}的通项.
评注：这里的x=1是二重根，请注意，要利用定理2.
第一类：f（n）常数
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an+1-6an+2，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an+1-6an+2 …①
把①式中的n用n-1代替可得an+1=5an-6an-1+2 …②
①和②整理可得：an+2=6an+1-11an+6an-1
就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.
评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.
第二类：f（n）关于n的多项式
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an-1-6an+n2，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an-1-6an+n2 ……①
把①式中的n用n-1代替可得an+1=5an-6an-1+（n-1）2…②
①和②整理可得：an+2=6an+1-11an+6an-1+2n-1 …③
把③式中的n用n-1代替可得：
an+1=6an-11an-1+6an-2+2（n-1）-1 …④
③和④整理可得：an+2=7an+1-17an+17an-1-6an-2+2
就回归到常系数齐次非线性递归数列第一
评注：若f（n）关于n的p次多项式，我们只需重复上述p+1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.
第三类：f（n）关于n的指数函数形式
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an+1-6an+2n，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an+1-6an+2n …①
把①式两边同时除以2n+2，整理得：
就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.
评注：若f（n）关于n的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.
当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.
（作者单位 福建省泉州南安一中）
关键词：特征方程；特征根；线性递归；非线性
数列通项公式直接表述了数列的本质。数列通项公式具备两大功能：（1）可以通过数列通项公式求出数列中任意一项；（2）可以通过数列通项公式判断一个数是否为数列的项以及是第几项等问题。因此，求数列通项公式是高中数学中较为常见的题型之一，它既考查等价转换与化归的数学思想，又能反映学生对数列的理解深度，具有一定的技巧性，经常渗透在高考和数学竞赛中。下面，本人结合自身的数学教学实践，就利用特征根法求某类数列通项的方法做些归纳延伸，以期能给大家一些启示。
一、常系数齐次线性递归数列
一般地，我们称由初始值a1，a2，a3，…ak及递推关系an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan+f（n）所确定的数列为k阶常系数线性递归数列，其中c1，c2，…ck为常数，且ck≠0，当f（n）时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k阶循环数列）.我们把对应于常系数齐次线性递归数列
an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan ①
的方程xk=c1xk-1+c2xk-2+…+ck ②
称为其特征方程，方程的根称为{an}的特征根.
下面不加证明地引进两个定理：
定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k个不同的单根 x1，x2…xk，（包括虚根在内）那么an=A1xn1+A2xn2+…Akxnk，其中A1，A2，Ak是待定系数，可由初始值确定.
定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根x1，x2…xs（s
这里B（i）1，B（i）2…B（i）ti（i=1，2…s）的是待定系数，可由初始值确定.
下面我们通过两个典型的例子来深入地理解线性递归数列.
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2+an+1+an=0，n=1，2… 求数列{an}的通项.
评注：这里的x=1是二重根，请注意，要利用定理2.
二、常系数非齐次线性递归数列
一般地，an+k=c1an+k-1+c2an+k-2+…+ckan+f（n），其中c1，c2，…ck为常数，且ck≠0，当f（n）≠0时，可以分成三类：第一类：f（n）常数
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an+1-6an+2，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an+1-6an+2 …①
把①式中的n用n-1代替可得an+1=5an-6an-1+2 …②
①和②整理可得：an+2=6an+1-11an+6an-1
就回归到常系数齐次线性递归数列，按部就班利用特征根法就可以解决问题.
评注：此类型问题解决的关键在于应用化归转化的数学解题思想，化归成常系数齐次线性递归数列.
第二类：f（n）关于n的多项式
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an-1-6an+n2，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an-1-6an+n2 ……①
把①式中的n用n-1代替可得an+1=5an-6an-1+（n-1）2…②
①和②整理可得：an+2=6an+1-11an+6an-1+2n-1 …③
把③式中的n用n-1代替可得：
an+1=6an-11an-1+6an-2+2（n-1）-1 …④
③和④整理可得：an+2=7an+1-17an+17an-1-6an-2+2
就回归到常系数齐次非线性递归数列第一
摘自：学术论文翻译www.udooo.com
类，参照第一类方法即可解决问题.评注：若f（n）关于n的p次多项式，我们只需重复上述p+1次替代就可化归至常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.
第三类：f（n）关于n的指数函数形式
例：设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=5an+1-6an+2n，求数列{an}的通项.
解析：已知：an+2=5an+1-6an+2n …①
把①式两边同时除以2n+2，整理得：
就回归到常系数齐次非线性递归数列第一类，参照第一类方法即可解决问题.
评注：若f（n）关于n的指数函数形式，我们只需等式两边同时除以适当的指数幂，就可划归为第一类题型，最终转化为常系数齐次线性递归数列，利用特征根法即可解决问题.
当然，本文只是对适合特征根法求通项的数列做点归纳及延伸.数列通项的求解方法灵活多变，望读者能多加思考和总结，对数列通项的各种类型的解决方法有自己独特的见解.
（作者单位 福建省泉州南安一中）