本站原创
摘要：分类讨论是数学解题中的一种重要思想方法，它一般是在原问题不能统一解决的情况下，将其分解成相互独立的若干子问题来处理，最后综合这些子问题的解答，得到对整个原问题的解答。
关键词：分类讨论；字母系数；图形位置；数学解题
1674-9324（2012）07-0182-03
分类讨论是数学解题中的一种重要思想方法，它一般是在原问题不能统一解决的情况下，将其分解成相互独立的若干子问题来处理，最后综合这些子问题的解答，得到对整个原问题的解答。这种思想体现了一种弱化问题，强化条件，以退为进的策略，简化了原问题的难度。
分类讨论思想在人类的思维、推理过程中起着重要的作用，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在数学解题中的体现。也就是说，如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，那么将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一种情形的特性，得出每类情形下相应的结论，即所谓的分类讨论思想。
分类时要注意分类标准要统一，且不重不漏。要掌握分类原则、方法和技巧，做到“确定对象的全体、明确分类标准”。在具体的求解过程中，整体问题转化为部分问题后，相当于增加了题设的条件。在一般情况下，分类讨论解题的步骤是：
（1）确定分类标准、分类对象及范围；
（2）恰当分类；
（3）逐类讨论；
（4）归纳结论。
分类讨论贯穿在整个初中数学教材内容之中，代数式、方程、不等式、函数、图形的知识、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、圆等都存在着分情况讨论的题目，但就应用而言，大致有以下几种情形。
1.由字母系数引起的分类讨论。方程中含有参与运算的字母系数。（1）对于形如ax=b的一元一次方程，其解得情况：当a≠0时，有唯一的解x=■；当a=0，b=0时，有无数个解；当a=0，b≠0时，无解。（2）对于形如ax2+bx+c=0的方程，需要判断a是否为零，并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究。（3）对于不等式ax＞b的解集，可分为当a＞0时，解集为x＞■；当a＜0时，解集为x＜■。
例1 已知关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的图像与x轴总有交点，求a的取值范围。
思路点拨：
因为是关于x的函数，所以可以是一次函数，也可以是二次函数。所以必须讨论二次项系数和一次项系数是否为0的情况。
解答过程：
（1）若y是关于x的一次函数，则a2+3a+2=0a+1≠0，解此不等式组得a=-2.
原函数解析式化为y=-x+■.图像与x轴的交点是（■，0）。
（2）若y是关于x的二次函数，且与
综上所述，关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的图像与x轴总有交点时，a＜-1。
2.由分母是否为0引起的分类讨论。分式方程、代数式恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论。
例2 已知关于x的方程■-■=■只有一个解，求k的值和方程的解。
思路点拨：
解分式方程在去分母的时候会产生增根，此题的公分母是x（x-1），去分母后原方程变形为：kx2+（2-3k）x-1=0，显然，接下来要讨论字母的系数。
解答过程：
把原方程去分母，再整理得：kx2+（2-3k）x-1=0
（1）当k=0时，得2x-1=0，x=0.5
（2）当k≠0时，因为■-■=■只有一个解，从方程kx2+（2-3k）x-1=0里可以看出x=1是原方程的增根（x=0不可能是增根）。把x=1代入kx2+（2-3k）x-1=0，得k+2-3k-1=0，k=0.5
把k=0.5代入kx2+（2-3k）x-1=0，得0.5x2+0.5x-1=0
解得x1=1（增根），x2=-2.
综上所述，当k=0时，x=0.5；当k=0.5时，x=-2
3.由图形位置引起的分类讨论。一般地，当题目未提供图形时，往往考虑分类讨论，这是因为当图形确定了，问题的结果也就确定了。但由于图形位置或图形本身具有不确定性，从而无法给出具体的图形，这就要求我们能根据题目的条件画出不同的图形。对于三角形往往要考虑是锐角三角形还是钝角三角形；对于圆往往要考虑弦和弧的关系等等。
例3 已知四边形ABCD中，ΔABC是边长为2的等边三角形，ΔACD是一个含30°角的直角三角形。
（1）画出四边形ABCD（画出图形即可）
（2）分别求出四边形ABCD的对角线BD的长。
思路点拨：
本题中给出的ΔABC和ΔACD位置关系不确定，故应分情况加以讨论。
解答过程：
（1）如图①②③所示：
（2）在图①中，∵ΔABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.
在RtΔACD中，AC=cos30°·CD，∴CD=■■.
在RtΔBCD中，BD=■=■=■■
在图②中，∵ΔABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.
在RtΔACD中，CD=cos30°·AC=■
在RtΔBCD中，BD=■=■=■.
在图③中，过点B作CD的垂线与DC的延长线交于点H.
∵∠ACD=90°，∠ADC=30°，∴AC=tg30°·CD，
∴CD=2■.
在RtΔBCH中，∠BCH=30°，∴BH=1，CH=■，∴DH=3■.在RtΔBDH中，BD=■=■=2■
4.由点、边的不确定引起的分类讨论。由点、边以及图形的形状等的不确定，需要对问题进行分类讨论，如等腰三角形中底与腰的不确定；全等三角形、相似三角形的对应点的不确定；当图形在运动过程中，在某些特殊情况下会有特殊性质等等都需要分类讨论。
例4 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD，AD上滑动，当DM多少时，ΔABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？
思路点拨：
运动型问题是近几年中考数学的热点题型，从学习平面几何的静止状态转到图形的运动变化状态，需要我们对各种情形进行细致的考虑和综合的分析。线段MN的两端在CD，AD上滑动的过程中DM可能与BE是对应边，也可能与AB是对应边，需要分类讨论。
解答过程：
∵正方形ABCD的边长是2，BE=CE，∴BE=1.
∴AE=■=■=■.
（1）当DM与BE是对应边时，■=■=■，DM=■.
（2）当DM与AB是对应边时，■=■=■，DM=■.
∴当DM=■或DM=■时，ΔABE与以D，M，N为顶点的三角形相似。
5.应用问题中的分类讨论。当所研究的应用问题条件不确定或结论不唯一时，一般需要分类讨论。
例5 随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木。根据
（1）分别求出利润y1与利润y2关于投资量的函数解析式。
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他能否有可能获得最大利润？若有可能，求出这个最大值；若没可能，请说明理由。
解答过程：
（1）设y1=kx，y2=ax2，把图像上的点代入可得k=2，a=■.
∴y1=2x，y2=■x2.
（2）设种植花卉的资金投入为x万元，则种植树木的资金为（8-x）万元，两项所获利润为y万元，由题意得：
y=y1+y2=2（8-x）+■x2=■x2-2x+16=■（x-2）2+14.
思路分析：做到这里，容易按老习惯，继续这样解：
∵a=?摇■＞0，∴函数y有最小值，但不存在y的最大值。
事实上，x的取值范围是0≤x≤8，所以y不但有最小值，并且存在着最大值。不过要根据二次函数的图像性质分类讨论。正确的应该接着这样解：
由于0≤x≤8，抛物线的对称轴是直线x=2.
①当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，所以当x=0时，y最大值=16.
②2≤x≤8时，y随x的增大而增大，所以当x=8时，y最大值=32.
综上所述，这位专业户能获得最大利润，最大利润是32万元。
总之，分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
参考文献：
尖子生培优教材——数学[M].南方出版社，2010.
叶伟文.例说分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].数据教学通讯，2010.
作者简介：王薇（1971-），女，浙江杭州人，浙江体育职业技术学院附属体校，中学一级教师，从事中学数学教学及研究。
关键词：分类讨论；字母系数；图形位置；数学解题
1674-9324（2012）07-0182-03
分类讨论是数学解题中的一种重要思想方法，它一般是在原问题不能统一解决的情况下，将其分解成相互独立的若干子问题来处理，最后综合这些子问题的解答，得到对整个原问题的解答。这种思想体现了一种弱化问题，强化条件，以退为进的策略，简化了原问题的难度。
分类讨论思想在人类的思维、推理过程中起着重要的作用，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维方式在数学解题中的体现。也就是说，如果被研究的问题包含多种情况，不能一概而论时，那么将确定的同一标准所研究的问题划分成若干不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一种情形的特性，得出每类情形下相应的结论，即所谓的分类讨论思想。
分类时要注意分类标准要统一，且不重不漏。要掌握分类原则、方法和技巧，做到“确定对象的全体、明确分类标准”。在具体的求解过程中，整体问题转化为部分问题后，相当于增加了题设的条件。在一般情况下，分类讨论解题的步骤是：
（1）确定分类标准、分类对象及范围；
（2）恰当分类；
（3）逐类讨论；
（4）归纳结论。
分类讨论贯穿在整个初中数学教材内容之中，代数式、方程、不等式、函数、图形的知识、三角形、四边形、相似形、图形变换、解直角三角形、圆等都存在着分情况讨论的题目，但就应用而言，大致有以下几种情形。
1.由字母系数引起的分类讨论。方程中含有参与运算的字母系数。（1）对于形如ax=b的一元一次方程，其解得情况：当a≠0时，有唯一的解x=■；当a=0，b=0时，有无数个解；当a=0，b≠0时，无解。（2）对于形如ax2+bx+c=0的方程，需要判断a是否为零，并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究。（3）对于不等式ax＞b的解集，可分为当a＞0时，解集为x＞■；当a＜0时，解集为x＜■。
例1 已知关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的图像与x轴总有交点，求a的取值范围。
思路点拨：
因为是关于x的函数，所以可以是一次函数，也可以是二次函数。所以必须讨论二次项系数和一次项系数是否为0的情况。
解答过程：
（1）若y是关于x的一次函数，则a2+3a+2=0a+1≠0，解此不等式组得a=-2.
原函数解析式化为y=-x+■.图像与x轴的交点是（■，0）。
（2）若y是关于x的二次函数，且与
源于：论文范文网www.udooo.com
x轴有交点，则a2+3a+2≠0△≥0，解此不等式组得a＜-1且a≠-2.综上所述，关于x的函数y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的图像与x轴总有交点时，a＜-1。
2.由分母是否为0引起的分类讨论。分式方程、代数式恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论。
例2 已知关于x的方程■-■=■只有一个解，求k的值和方程的解。
思路点拨：
解分式方程在去分母的时候会产生增根，此题的公分母是x（x-1），去分母后原方程变形为：kx2+（2-3k）x-1=0，显然，接下来要讨论字母的系数。
解答过程：
把原方程去分母，再整理得：kx2+（2-3k）x-1=0
（1）当k=0时，得2x-1=0，x=0.5
（2）当k≠0时，因为■-■=■只有一个解，从方程kx2+（2-3k）x-1=0里可以看出x=1是原方程的增根（x=0不可能是增根）。把x=1代入kx2+（2-3k）x-1=0，得k+2-3k-1=0，k=0.5
把k=0.5代入kx2+（2-3k）x-1=0，得0.5x2+0.5x-1=0
解得x1=1（增根），x2=-2.
综上所述，当k=0时，x=0.5；当k=0.5时，x=-2
3.由图形位置引起的分类讨论。一般地，当题目未提供图形时，往往考虑分类讨论，这是因为当图形确定了，问题的结果也就确定了。但由于图形位置或图形本身具有不确定性，从而无法给出具体的图形，这就要求我们能根据题目的条件画出不同的图形。对于三角形往往要考虑是锐角三角形还是钝角三角形；对于圆往往要考虑弦和弧的关系等等。
例3 已知四边形ABCD中，ΔABC是边长为2的等边三角形，ΔACD是一个含30°角的直角三角形。
（1）画出四边形ABCD（画出图形即可）
（2）分别求出四边形ABCD的对角线BD的长。
思路点拨：
本题中给出的ΔABC和ΔACD位置关系不确定，故应分情况加以讨论。
解答过程：
（1）如图①②③所示：
（2）在图①中，∵ΔABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.
在RtΔACD中，AC=cos30°·CD，∴CD=■■.
在RtΔBCD中，BD=■=■=■■
在图②中，∵ΔABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.
在RtΔACD中，CD=cos30°·AC=■
在RtΔBCD中，BD=■=■=■.
在图③中，过点B作CD的垂线与DC的延长线交于点H.
∵∠ACD=90°，∠ADC=30°，∴AC=tg30°·CD，
∴CD=2■.
在RtΔBCH中，∠BCH=30°，∴BH=1，CH=■，∴DH=3■.在RtΔBDH中，BD=■=■=2■
4.由点、边的不确定引起的分类讨论。由点、边以及图形的形状等的不确定，需要对问题进行分类讨论，如等腰三角形中底与腰的不确定；全等三角形、相似三角形的对应点的不确定；当图形在运动过程中，在某些特殊情况下会有特殊性质等等都需要分类讨论。
例4 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD，AD上滑动，当DM多少时，ΔABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？
思路点拨：
运动型问题是近几年中考数学的热点题型，从学习平面几何的静止状态转到图形的运动变化状态，需要我们对各种情形进行细致的考虑和综合的分析。线段MN的两端在CD，AD上滑动的过程中DM可能与BE是对应边，也可能与AB是对应边，需要分类讨论。
解答过程：
∵正方形ABCD的边长是2，BE=CE，∴BE=1.
∴AE=■=■=■.
（1）当DM与BE是对应边时，■=■=■，DM=■.
（2）当DM与AB是对应边时，■=■=■，DM=■.
∴当DM=■或DM=■时，ΔABE与以D，M，N为顶点的三角形相似。
5.应用问题中的分类讨论。当所研究的应用问题条件不确定或结论不唯一时，一般需要分类讨论。
例5 随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木。根据
摘自：学士论文www.udooo.com
市场调查与预测，种植树木的利润 与投资量x成正比例关系，如图①所示。种植花卉的利润 与投资量x成二次函数关系，如图②所示。（利润和投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y1与利润y2关于投资量的函数解析式。
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他能否有可能获得最大利润？若有可能，求出这个最大值；若没可能，请说明理由。
解答过程：
（1）设y1=kx，y2=ax2，把图像上的点代入可得k=2，a=■.
∴y1=2x，y2=■x2.
（2）设种植花卉的资金投入为x万元，则种植树木的资金为（8-x）万元，两项所获利润为y万元，由题意得：
y=y1+y2=2（8-x）+■x2=■x2-2x+16=■（x-2）2+14.
思路分析：做到这里，容易按老习惯，继续这样解：
∵a=?摇■＞0，∴函数y有最小值，但不存在y的最大值。
事实上，x的取值范围是0≤x≤8，所以y不但有最小值，并且存在着最大值。不过要根据二次函数的图像性质分类讨论。正确的应该接着这样解：
由于0≤x≤8，抛物线的对称轴是直线x=2.
①当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，所以当x=0时，y最大值=16.
②2≤x≤8时，y随x的增大而增大，所以当x=8时，y最大值=32.
综上所述，这位专业户能获得最大利润，最大利润是32万元。
总之，分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
参考文献：
尖子生培优教材——数学[M].南方出版社，2010.
叶伟文.例说分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].数据教学通讯，2010.
作者简介：王薇（1971-），女，浙江杭州人，浙江体育职业技术学院附属体校，中学一级教师，从事中学数学教学及研究。