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摘 要：完全平方式具有一定的结构特征；完全平方数都可以称为完全平方式；而完全平方式并不都是完全平方数。2）理解完全平方式这个概念，重点在于学会灵活地运用完全平方公式解决相关问题。这就要求我们必须弄清完全平方式和完全平方公式的结构特征以及它们之间的密切联系。
关键词：理解 完全平方式 灵活运用 完全平方公式
1003-9082（2013）06-0058-01
完全平方式是初中数学中的一个十分重要的概念，充分理解这个概念，对我们解决因式分解等相关数学问题具有重要的意义。
怎样理解完全平方式呢？
我们首先来讨论一个比较常见的问题。问题：如果x2+kx+1是一个完全平方式，则k等于多少？一般情况下要解此题，我们是根据完全平方式的定义“形如a2±2ab+b2这样的式子叫完全平方式”，从而得到k=±2。
这也是大家都比较认同的结果。然而，由于题目中对k的取值没有明确规定只能取常数，所以如果我们进行多角度思考不难发现，符合条件的k的值还有以下一些情形：
（1）当k=-x时，
x2+kx+1=x2-x2+1=12
（2）当k= - 时（x≠0），
x2+kx+1=x2-1+1=x2
（3）当k= x3时，
x2+kx+1= x2+ x4 +1 =（ x2+1）2
（4）当k= 时，（x≠0）时，
x2+kx+1= x2+ +1 =（x+ ）2
……
从以上几种情形的结果看到，对“完全平方式”这个概念的理解我们常常会产生以下一些疑问：
疑问一：完全平方式包括完全平方数吗？ 如 “1、4、9…”。还有象“ 、 、 …”之类的非完全平方数，可不可以把它们称为完全平方式呢？
疑问二：完全平方式包括某些可以写成无理数平方的有理数吗？如 “3=（ ）2、5=（ ）2、1.5=（ ）2…”。这里，“
首先，完全平方式具有一定的结构特征。它有两种结构形式。一种表现为“a2±2ab+b2”形式的结构；另一种表现为“（a±b）2”形式的结构。前者为三项式形式，它由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是这两个式子（或数）的乘积的二倍，符号是正号或者负号；后者为一个二项式（或一个代数式）的完全平方。由此可见，符合两种结构形式的代数式都可以称之为完全平方式。并且对于完全平方式“a2±2ab+b2”或“（a±b）2”中的“a、 b”可以是数（包括有理数和无理数），也可以是代数式（包括有理式和无理式）。
就上面的疑问一和疑问二而言，由于完全平方数应具备下面两个基本特点：第一、完全平方数都是整数；第二、每一个完全平方数都等于某一个（或某两个）整数的平方。所以 “1、4、9…”才能称作完全平方数，而数也是式，因此“1、4、9…”这些数也可以称为完全平方式。而“ 、 、 …” 与“3、5、1.5…”显然不是完全平方数。但是，由完全平方式的定义以及代数式的意义可以得到，“ 、 、 …” 以及“3、5、1.5…” 包括疑问三中所指出的“x2、4x2 、 …”，这些代数式也都可以称它们为完全平方式。如在实数范围内把多项式“x4-9”分解因式时，结果并不是“（x2+3） （x2-3）” ，而是“ （x2+3）（x+ ）（x- ）”。这里就将“3”看成了一个完全平方式。
这样，对于本文开始所提到的问题中，k=±2以外的取值情形的结果，其合理性是显而易见的。
从以上分析我们可以得出下面的结论：完全平方数都可以称为完全平方式；而完全平方式并不都是完全平方数。
为了研究的需要，在现代数学文献中，常常把很多相近数学概念之间的包含关系作出了特别的规定。如把单项式看成是只有一项的多项式；而把多项式也看成是分母为1的分式等等。
而对于完全平方式这个概念的定义在教科书（湘教版）中并没有明确提出。
所以，在理解完全平方式这个概念时，我们要在解除以上提到的一些疑虑的基础上，学会灵活地运用完全平方公式解决相关问题。这就要求我们必须弄清完全平方式和完全平方公式的结构特征以及它们之间的密切联系。这里所指的完全平方公式也包括两种不同的形式。一种形式是“（a±b）2 = a2±2ab+b2”，另一种形式是“a2±2ab+b2=（a±b）2”利用这两个公式可以分别进行乘法运算和多项式的因式分解。
如果要利用完全平方公式计算，就要创设符合公式特征的两数（式）和或两数（式）差的平方。例如，利用完全平方公式计算1022 与 1972 时，可以按下面步骤进行：1022=（100+2）2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404；1972=（200-3）2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809。而在运用完全平方公式把一个多项式分解因式时，首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，如用加法结合律，可为使用公式创造了条件，得到一个完全平方式，从而把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方。同时在选用完全平方公式分解因式时，要看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2﹢2ab+b2=（a﹢b）2；如果是负号，则用公式a2-2ab+b2=（a-b）2。另外，在运用完全平方公式时，还应避免出现（a±b）2 =a2 ±b2或（a±b2 =a±ab+b等错误。
参考文献
教育部.全日制义务教育《数学课程标准》[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
关键词：理解 完全平方式 灵活运用 完全平方公式
1003-9082（2013）06-0058-01
完全平方式是初中数学中的一个十分重要的概念，充分理解这个概念，对我们解决因式分解等相关数学问题具有重要的意义。
怎样理解完全平方式呢？
我们首先来讨论一个比较常见的问题。问题：如果x2+kx+1是一个完全平方式，则k等于多少？一般情况下要解此题，我们是根据完全平方式的定义“形如a2±2ab+b2这样的式子叫完全平方式”，从而得到k=±2。
这也是大家都比较认同的结果。然而，由于题目中对k的取值没有明确规定只能取常数，所以如果我们进行多角度思考不难发现，符合条件的k的值还有以下一些情形：
（1）当k=-x时，
x2+kx+1=x2-x2+1=12
（2）当k= - 时（x≠0），
x2+kx+1=x2-1+1=x2
（3）当k= x3时，
x2+kx+1= x2+ x4 +1 =（ x2+1）2
（4）当k= 时，（x≠0）时，
x2+kx+1= x2+ +1 =（x+ ）2
……
从以上几种情形的结果看到，对“完全平方式”这个概念的理解我们常常会产生以下一些疑问：
疑问一：完全平方式包括完全平方数吗？ 如 “1、4、9…”。还有象“ 、 、 …”之类的非完全平方数，可不可以把它们称为完全平方式呢？
疑问二：完全平方式包括某些可以写成无理数平方的有理数吗？如 “3=（ ）2、5=（ ）2、1.5=（ ）2…”。这里，“
3、5、1.5…”都是可以写成无理数平方的有理数。是否也可以称它们为完全平方式呢？
疑问三：完全平方式包括以下类型的代数式吗？如“x2、4x2 、 …”。
要解除以上几个疑问，我们需要对 “完全平方式”这个概念进行详尽的分析。首先，完全平方式具有一定的结构特征。它有两种结构形式。一种表现为“a2±2ab+b2”形式的结构；另一种表现为“（a±b）2”形式的结构。前者为三项式形式，它由三部分组成，其中的两部分是两个式子（或数）的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是这两个式子（或数）的乘积的二倍，符号是正号或者负号；后者为一个二项式（或一个代数式）的完全平方。由此可见，符合两种结构形式的代数式都可以称之为完全平方式。并且对于完全平方式“a2±2ab+b2”或“（a±b）2”中的“a、 b”可以是数（包括有理数和无理数），也可以是代数式（包括有理式和无理式）。
就上面的疑问一和疑问二而言，由于完全平方数应具备下面两个基本特点：第一、完全平方数都是整数；第二、每一个完全平方数都等于某一个（或某两个）整数的平方。所以 “1、4、9…”才能称作完全平方数，而数也是式，因此“1、4、9…”这些数也可以称为完全平方式。而“ 、 、 …” 与“3、5、1.5…”显然不是完全平方数。但是，由完全平方式的定义以及代数式的意义可以得到，“ 、 、 …” 以及“3、5、1.5…” 包括疑问三中所指出的“x2、4x2 、 …”，这些代数式也都可以称它们为完全平方式。如在实数范围内把多项式“x4-9”分解因式时，结果并不是“（x2+3） （x2-3）” ，而是“ （x2+3）（x+ ）（x- ）”。这里就将“3”看成了一个完全平方式。
这样，对于本文开始所提到的问题中，k=±2以外的取值情形的结果，其合理性是显而易见的。
从以上分析我们可以得出下面的结论：完全平方数都可以称为完全平方式；而完全平方式并不都是完全平方数。
为了研究的需要，在现代数学文献中，常常把很多相近数学概念之间的包含关系作出了特别的规定。如把单项式看成是只有一项的多项式；而把多项式也看成是分母为1的分式等等。
而对于完全平方式这个概念的定义在教科书（湘教版）中并没有明确提出。
所以，在理解完全平方式这个概念时，我们要在解除以上提到的一些疑虑的基础上，学会灵活地运用完全平方公式解决相关问题。这就要求我们必须弄清完全平方式和完全平方公式的结构特征以及它们之间的密切联系。这里所指的完全平方公式也包括两种不同的形式。一种形式是“（a±b）2 = a2±2ab+b2”，另一种形式是“a2±2ab+b2=（a±b）2”利用这两个公式可以分别进行乘法运算和多项式的因式分解。
如果要利用完全平方公式计算，就要创设符合公式特征的两数（式）和或两数（式）差的平方。例如，利用完全平方公式计算1022 与 1972 时，可以按下面步骤进行：1022=（100+2）2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404；1972=（200-3）2=2002-2×200×3+32=40000-1200+9=38809。而在运用完全平方公式把一个多项式分解因式时，首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解。有时需要先把多项式经过适当变形，如用加法结合律，可为使用公式创造了条件，得到一个完全平方式，从而把多项式的完全平方转化为二项式的完全平方。同时在选用完全平方公式分解因式时，要看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2﹢2ab+b2=（a﹢b）2；如果是负号，则用公式a2-2ab+b2=（a-b）2。另外，在运用完全平方公式时，还应避免出现（a±b）2 =a2 ±b2或（a±b2 =a±ab+b等错误。
参考文献
教育部.全日制义务教育《数学课程标准》[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
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