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极限极限概念教学实践和期刊

收藏本文 2024-01-20 点赞:18073 浏览:81001 作者:网友投稿原创标记本站原创

【摘 要】极限理论部分是高等数学学习中的一大难点也是一个重点。学生在高中对极限概念不够,在高等数学学习中会困惑,本文分析了学生的知识结构思维水平及极限概念教学中的难点分析。并提出应对措施,帮助学生顺利适应高等数学特点,用运动的观点分析极限现象,并使用数学语言准确描述。
【关键词】高等数学 极限 运动 数学语言
高等数学是高校学生必修的一门重要基础课,一方面由于微积分在众多学科广泛应用,学生对高数的掌握水平会对他们后继课程的学习起到基础作用,并且对他们在今后的工作以及知识更新将起到深远的影响;另一方面,通过高等数学的学习对学生的逻辑思维能力,抽象思维,归纳演绎等科学思维方法和研究分析问题有清晰的思路,严谨的科学态度。然而极限工具是掌握高数的一把钥匙。首先它是一个难点,这一部分不太容易经过一次思考就能一步到位,是需要学生多次思考不断提高理解深度的重要概念;其次,它又是重点,贯穿高等数学的始终。极限理论是学生在高等数学中的第一个大的障碍。极限部分教学的成败会严重影响到整个高等数学的教学效果。为了搞好这部分教学,有必要分析研究学生的知识能力思维水平现状,分析查找学习中的困难所在,采取有效措施分解难点,让学生理解概念,顺利提高自己的思维水平。

一、学生学习现状分析

(一)应该说学生对极限部分还是有一定基础的

实行新课标之后,很多传统上在高校数学课堂讲解的内容也成了高中数学的重点,比如极限、导数、积分等。但是,由于应试教育背景下,学生可能会对有关运算熟悉,但对概念的理解却深浅不一。

(二)初等数学与高等数学在思维方法、研究的内容的差异认识不够

(三)倘若思维认识不到位,问题会可能想不清楚,没有清晰地认知,就不会有直观的理解,从而就更难用语言去描述极限概念了
种种问题往往交织在一起,造成学生对这一部分内容的复杂心态:一方面觉得这一部分已学过,觉得已经懂了,不屑于听;另一方面接触定义之后发现一无所知,颠覆对极限的所有认识,觉得难以理解。在高等数学的教学实践中,往往会发现学生有上述两种表现。因此引导学生端正态度,走出认识的误区很重要。

二、学生学习困难所在

(一)需要清晰地认识到初等数学与高等数学的差异

初等数学和高等数学的主要区别之一就是把运动引入数学。初等数学主要研究静态下量与量的数量关系,而高等数学主要研究在运动变化过程中量与量之间的数量关系。因此,学生应清楚明确的认识到这一点,并有意识地用“运动”的观点考虑实际问题:对实际问题抽象成数学模型,并在运动变化过程中分析量与量之间的数量关系。

(二)思维方法需要转变

在初等数学中常常对有限问题进行研究,在高等数学中会经常讨论无限问题。所以学生应该在思维认识上必须有突破,从有限过渡到无限。

(三)要学会并习惯使用数学语言描述问题,让自己的思维变得严密起来

三、教学中的应对措施

(一)通过有趣的例子提高学生认识,帮助学生以运动的观点认识无限,提高思维水平

运动的观点分析问题在中学阶段学习函数时就已将开始了,笛卡尔坐标系建立之后,数学就引进了运动。这一点学生还是比较容易接受的。
对于无限的研究可以举出大量鲜活的例子来强化学生的印象,启发他们考试考虑无限的问题。比如:著名的芝诺悖论,阿基里斯(Achilles)追乌龟说:擅跑英雄阿基里斯追乌龟,永远也追不上。因为当他追到乌龟的出发点时,乌龟已先前爬向了一段。他再追完这一段,乌龟又先前爬了一小段。重复这个论点,乌龟总在阿基里斯的前面。课堂上学生对此问

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题很感兴趣,不管能否有合理的解释,对问题的浓厚兴趣引起对无限问题的思考就是一种思维训练。

(二)通过实例说明极限概念的由来,揭开极限的神秘面纱

极限是一种思想方法,它与对无限问题的研究相伴,是在求某些实际问题的精确解时产生的。比如圆内接正多边形的面积来可以近似圆的面积,当边数不断增大,正多边形的面积越来越接近圆的面积,当边数无限大的情况下就把圆的面积作为正多边形面积的极限值。从而极限概念的产生就可以解决求圆的面积这一实际问题:转化为求正多边形面积序列随边增大的极限值。
(三)理清极限概念出现的内在逻辑过程,把握极限概念本质,并引导学生能数学语言描述。(以数列极限为例说明)
数学研究问题要从定性分析过渡到定量研究。对于数列极限概念,内在的思维过程是: 由于数列xn的值会随n的变化而变化。我们自然想研究当时数列xn的变化趋势。定性地说:当时数列xn与某一常数a无限接近。我们就称常数a就是数列xn当时的极限值。引导学生如何用语言描述xn与某一常数a无限接近,即数xn数a的“距离”无限接近。启发学生:在数学上如何表示数xn与数a的“距离”无限接近?让学生自己得到极限的直观就是在“条件”下,有结论“无限小”成立。
为了定量描述这一现象就得到极限的定义。引入可以任意小的正数,对于上述,一定存在自然数,当时总有成立。
启发学生注意定量描述与定性描述的呼应:“ ,”描述“无限小”; “一定存在自然数,当”描述充分大。有了直观形象和准确数学语言描述能力之后,学生对极限的认识就提高了。
总之,在应试教育的重压下,学生有限的思维训练被挤压为做题机械训练。学生的思维能力的提高还需要课堂上注重对学生思维的训练,以及对重要概念来龙去脉的深刻理解。只有对极限的深刻理解之后,才能掌握开启微积分大门的金钥匙。
【参考文献】
[1] 李心灿.微积分的创立者及其先驱[M]. 北京:高等教育出版社,2007.
[1] 同济大学应用数学系. 高等数学第六版[M]. 北京:高等教育出版社,2007.

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