逆向逆向思维在高等数学中运用选题

摘 要 高等数学是一门专业性强、理论性强、对实际运用能力高的学科。逆向思维是与顺向思维相对立的概念，它在高等数学的教学与应用中都占据着很重要的作用，若能合理运用逆向思维，不仅能开发学生的思维能力同时也能开拓学生的思维空间。那么如何让学生学会利用逆向思维思考问题？学会自主利用逆向思维解决问题？下面笔者就结合自己对逆向思维的认识对此作简要分析。
关键词 逆向思维 重要性 高等数学 应用
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1 逆向思维的特点

逆向思维强调思维主题或人类能够从已有思路的反方向进行问题的思索和探究，从反方向找寻更适合解决问题的方案。逆向思维的运用不仅是一种快速解决方案的认可，同时也有利于人类克服常有的思维定式，开拓自己的视野，解放自己的思想。
逆向思维在高等数学上的运用主要是逆推法，即思维主体能够从待证的结论出发，一步步向问题分析递推，最终得到题目问题提出的具体思路的一种解题方法。这种逆推法主要应用于高等数学证明题的证明中，它可以帮助思维主体从一堆看似错综复杂、毫无关联的已知条件中通过问题推已知结论的方式准确的找到问题的关键突破口。

2 高等数学中应用逆向思维的重要性

无论是高等数学的教学还是学习，只有掌握逆向思维的解题方法才能够让教师更好的实施教学，才能够让学生更好的攻克各种数学难题。与顺向思维相对的，逆向思维本身就是一种特殊的思维方式，这种不同于常规的思维方式是以高数中的数字和图形为基本分析对象，运用基本的数学符号和语言，通过反向的数学判断和数学推理来揭示题目之中各数学对象之间的内在联系。在数学发展史上，著名希腊数学家就是利用反证法发

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现了无理数，从而让人们将对数的任何从有理数扩大到了无理数。而俄国数学家也是在看到前人利用直接证明欧几里得第五公设的失败中吸取教训，大胆采用与第五公设完全相反的命题间接证出了第五公设，从而创造出了罗巴切夫斯基几何。可见熟练掌握逆向思维能够让看似无法解决的问题得以解决。

3 逆向思维在高等数学基础知识中的应用

“罗马不是一天建成的”，同样的，要想将逆向思维熟练的运用到高数解题中，还要需要踏踏实实，先将逆向思维在高等数学基础知识中的应用基础打好。高等数学的教学中，基础知识主要包括：公式，定理和和定义。在教授这些简单高数知识的过程中，教师不仅要引导学生培养逆向思维的运用意识，同时还要让学生充分认识到这些基本定义、公式和定理也存在着可逆性。例如积分、定积分函数的导数等都可进行逆向运用。但是目前很多学生在解题时往往只会从正面考虑如何运用这些定理、公式，而对逆向运用的巨大作用视而不见。针对这种考虑不全面的现象，教师在教师时要能够有意识的培养学生的逆向思维能力，通过针对性训练帮助学生在掌握基本定义、公式和定理的同时也能够了解这些基础知识的可逆性，从而更好的掌握高等数学的知识内容。虽然高等数学的公式都是双向的，但是由于定向思维，很多人在运用公式时只习惯从左到右的公式表达方式，对逆向公式，尤其是逆向公式的变形很不习惯，但是这些逆向公式在解题中反而能发挥意想不到的作用，因此在高等数学中若能够熟练记忆并运用这类公式对解题思路和减少解题运算量上都有很大帮助。
高等数学中的定理有的可逆有的不可逆，高等数学教材中只给出了一部分定理的逆定理，很大以部分定理都没有给出其逆向性分析。这一点教师在教学中要能够意识并能够有意识的引导学生考虑这些为给出逆定理的定理是否具有逆命题。例如“收敛数列必有界”的逆命题“有界数列一定收敛”这个命题就是检测的。为何是检测的？怎么判别？这些问题都可以提出来，让学生自行思考，从而帮助学生扩展自己的高数思维，提高学生的逆向思维能力。例如在判定多项式乘法满足消去律时，顺向思维是两个多项式只要有一个为零，则他们的积为零，逆向来看，则是两个多项式的积为零，则两个多项式中至少有一个零，从而轻易得出多项式乘法满足消去律这一结论。

4 注重高等数学中知识体系和思想方法之间的互逆关系

熟悉了逆向思维在高等数学简单知识中的运用之后还要注重知识体系与思想方法之间的联系，并以此作为日常教学和学习的基本准则。以微积分学为例，它的研究对象是函数，研究工具是极限，研究内容是微分学和积分学，若能够在教学和学习中注重各部分知识的联系统一，注重该部分整体知识体系与思想方法之间的联系，肯定能给日常教学与学习带来意想不到的惊喜。例如在本段知识的学习中，导数和积分就具有明显的互逆关系，且对这两者的学习时微积分学知识学习的主体。从两者的计算来看，求函数的导数与求定积分本来就是一对逆运算。例如在一元函数计算中，由导数导出逆运算即可求得原函数及其不定积分。而可积函数的原函数与函数积分之间也可利用牛顿—莱布尼茨公式进行转换，可见导数与积分在题目计算中的运用本身就具有互逆性和相对统一性。同样的，在微积分中求解曲线长度时就是先将曲线化作无数个小线段，再将每个小线段等效为直线，通过部分“以直代曲”的方法得到每个小线段的长度，再通过微积分的方法将每个小线段进行相加，相加之后又在整体上“积直为曲”，从而实现曲线长度的求解。这种化整体为局部，再由局部相加得整体的求解方法在高数求解中随处可见。而这种方法的利用也是逆向思维在局部转换和整体计算中的应用实践。微积分学解题的主要知识就是极限、连续、导数、积分定义、级数、广义积分敛散性，这些知识的定义都是建立在极限的基础上。可以说极限运算就是高数微积分运算中的核心思想，其涵括的理念就是讲无限的问题转化为有限，再用有限的思想实现对无限的论证，由此可见无限和有限之间的辩证关系。
5 结语
高等数学是一门难度较大的学科，无论是教学还是学习上都有一定难度，因此教师在进行教学时要积极、及时的更新教育理念和观念，同时要能够充分认识到逆向思维在高等数学教学和学习中的重要性，能够在教学过程中有意识的培养和提高学生的数学素质和逆向思维能力，从而让学生能够熟练掌握高数知识，为日后的专业知识学习奠定下坚实的基础。
参考文献
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