不等式关于三解形不等式证明策略站

中图分类号：G623.5
不等式的证明方法很多，比如：比较法、分析法、综合法、放缩法等。对于证明三解形三边关系不等式，我们可以用不同的方法加以证明。现就例举具体的例子与大家一起探讨：

一、特殊值法

例：已知a，b，c是△ABC的三条边，比较大小（a+b+c）24（ab+bc+ca）。考虑这是填空题，不要过程，只求答案，所以这道完全可以用特殊值法求解。令△ABC是等边三解形，且a=b=c=1，得（a+b+c）2=9，4（ab+bc+ca）=12，所以（a+b+c）2<4（ab+bc+ca）。

二、常规思维法

设a，b，c为△ABC的三边，求证：a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
比较法
证法1
∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2
=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2
=（a-b）2-c2

源于：查抄袭率硕士论文www.udooo.com

+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2
=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
又∵a，b，c为△ABC的三边
∴a-b+c>0 a-b-c<0 c-a+b>0
c-a-b<0 c-b+a>0 c-b-a<0
∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）<0
∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
证法2∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
又∵a，b，c为△ABC的三边
∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正则不等式可以相乘，得到
∴a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0
∴ -〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0
∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
分析法
证法1：
∵a，b，c为△ABC的三边
∴a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正则不等式可以相乘，得到
a（b+c）>a2 b（a+c）>b2c（a+b）>c2
又∵ 2（ab+bc+ca）
=ab+ac+bc+ba+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2
∴ a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
在讨论题目的证明过程中，有的同学想到了这样的证明方法：
证法2
∵a，b，c为△ABC的三边
∴|a-b|（a-b）+（b-c）2+（a-c）2即a2+b2+c2<2（ab+bc+ca）
推论：已知a，b，c为△ABC的三边，则关于x的不等式
x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R
证明：∵ a，b，c为△ABC的三边
x2+（a+b+c）x+ab+ac+b
=（x+）2-+ab+ac+bc
=（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕
由前面的命题可知
（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）
=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕<0
∴4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2>0
又∵（x+）2>0
∴（x+）2+〔4（ab+bc+ac）-（a+b+c）2〕>0恒成立
∴关于x的不等式x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R