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近几年中考数学试卷中操作型探究题多数以几何图形为背景.通过平移、旋转构造出新图形，在图形的形状和位置的变化中去探求函数、方程、全等、相似、解直角三角形等知识间的内在联系.知识的综合度高，有助于考察学习者对数学知识的理解，在探究中知识得以内化，方法得以迁移，能力得以形成.本文以几道题目为例浅谈解决操作型问题的策略.
例1 （2009·贵州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（ ）粒.
A. 2n+1 B. 2n-1
C. 2n D. n+2
分析 每组种子数依次增加2个，每组数目为奇数个，第一组3个，因此第n组有（2n+1）个
例2 （2012·山西省）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是（ ）？摇？摇？摇
分析 由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形2+4=6个，第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，···
那么第n个就有阴影小三角形2+4（n-1）=4n-2个.
变式 （2012·湖北）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A． 8048个 B． 4024个
C． 2012个 D． 1066个
分析 观察图①有4个直角三角形， 图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形……可以发现规律
图②→图④→图⑥→图⑧→…？摇？摇
例3 （2012·哈尔滨第22题）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．
（1） 在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2） 在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）；
分析 本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、考查网格中的作图能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想.
解 （1）可以分三种情况来考虑：
① 以A为直角顶点，过A作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上）
② 以Ｂ为直角顶点，过Ｂ作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上）
③ 以C为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是
① 以A为等腰三角形顶点：以A为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；
② 以B为等腰三角形顶点：以B为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；
③ 以Ｃ为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C（点Ｃ不能落在格点上）.
例4 （2010·河南）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2） 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求■的值；
（3） 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求■的值．
分析 折叠问题中蕴涵轴对称的数学道理，解决时往往需要从线，角，形三方面考虑．
（1） 利用折叠的性质，根据全等三角形的性质解决问题，（2） 利用直角三角形根据勾股定理借助方程思想求出线段的比值.（3） 利用类比思想探究规律.
解 （1） 同意.连接EF，则∠EGF=∠D=90°，EG=AE=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF
（2） 由（1）知GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，∵DC=2DF， ∴CF=x，DC=AB=BC=2x
∴BF=BG+GF=3x，在Rt△BCF 中BC2+FC2=BF2，即y=2■x， ∴■=■
（3） 由（1）知GF=DF，DF=x，
∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF 中BC2+FC2=BF2，∴■=■
例5 （2012·四川内江）如图3，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A
分析 此题是单从线的方面发现折叠前后的相等线段，结合矩形的性质考查学生能力，从中渗透整体思想．
解 由折叠知阴影部分图形的周长＝EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F
＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF
＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）
＝AB＋AD
＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30
变式 （2012·江苏盐城）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 .
分析 本题以折纸为背景，考查了邻补角的性质，平行线的性质、三角形中位线定理以及折叠后角重合等问题，考查了同学们的分析问题、解决问题的综合能力.先由中位线定理证明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=50°，再
（下转第20页）
（上接第22页）
由折叠可知：∠ADE=∠EDA1，再利用邻补角就可以计算出∠BDA1的度数.随着新课程改革的不断深入，操作型探究题作为考查学生分析、解决问题以及创新意识的良好载体，而逐渐成为中考的热点.操作型问题能够充分培养学生的观察、猜想、验证、推理等数学能力，能启发学生的积极思维.数学思想方法的渗透与学习使学生在认识层次上能够得到较大的提高.所以在教学过程中，要让学生主动地探究，不断提高学生的主体意识、参与能力和勇于创新精神.
B■ （3，2），则Bn的坐标是 ________．
2. （2009·广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．
3. （2010台州市）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）？摇 ？摇．
（责任编辑：陈 默）
一、 规律探索型
对于规律探索题，关键是寻找变化图形中的不变的规律.例1 （2009·贵州）某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（ ）粒.
A. 2n+1 B. 2n-1
C. 2n D. n+2
分析 每组种子数依次增加2个，每组数目为奇数个，第一组3个，因此第n组有（2n+1）个
例2 （2012·山西省）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是（ ）？摇？摇？摇
分析 由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形2+4=6个，第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，···
那么第n个就有阴影小三角形2+4（n-1）=4n-2个.
变式 （2012·湖北）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A． 8048个 B． 4024个
C． 2012个 D． 1066个
分析 观察图①有4个直角三角形， 图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形……可以发现规律
图②→图④→图⑥→图⑧→…？摇？摇
4 → 8？摇→ 12 → 16 →……
直角三角形的个数，依次增加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍，所以第2012个图形中直角三角形的个数有4024个二、？摇方案设计型
实际动手操作题，主要考查学生理解能力、对数学基本概念、性质的掌握情况以及数学思想的运用情况.例3 （2012·哈尔滨第22题）图l、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．
（1） 在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形（画一个即可）；
（2） 在图2中画出△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD为等腰三角形（画一个即可）；
分析 本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、考查网格中的作图能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想.
解 （1）可以分三种情况来考虑：
① 以A为直角顶点，过A作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上）
② 以Ｂ为直角顶点，过Ｂ作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上）
③ 以C为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是
3、4或5，20
（2） 也分可分三情况考虑：① 以A为等腰三角形顶点：以A为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；
② 以B为等腰三角形顶点：以B为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C；
③ 以Ｃ为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C（点Ｃ不能落在格点上）.
三、 折叠发现型
折叠问题是近几年数学中考的热门问题之一，也是初中数学中将理论与实践联系较为密切的知识，其中以矩形的折叠最为典型，通过对矩形的折叠问题的探讨和研究，有利于我们对所有折叠问题的解决.例4 （2010·河南）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2） 保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求■的值；
（3） 保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求■的值．
分析 折叠问题中蕴涵轴对称的数学道理，解决时往往需要从线，角，形三方面考虑．
（1） 利用折叠的性质，根据全等三角形的性质解决问题，（2） 利用直角三角形根据勾股定理借助方程思想求出线段的比值.（3） 利用类比思想探究规律.
解 （1） 同意.连接EF，则∠EGF=∠D=90°，EG=AE=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF， ∴GF=DF
（2） 由（1）知GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，∵DC=2DF， ∴CF=x，DC=AB=BC=2x
∴BF=BG+GF=3x，在Rt△BCF 中BC2+FC2=BF2，即y=2■x， ∴■=■
（3） 由（1）知GF=DF，DF=x，
源于：论文结论范文www.udooo.com
BC=y，则有GF=x，AD=y，∵DC=nDF， ∴CF=（n-1）x，DC=AB=BC=nx∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF 中BC2+FC2=BF2，∴■=■
例5 （2012·四川内江）如图3，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A
1、D1处，则阴影部分图形的周长为A． 15 B． 20
C． 25 D． 30分析 此题是单从线的方面发现折叠前后的相等线段，结合矩形的性质考查学生能力，从中渗透整体思想．
解 由折叠知阴影部分图形的周长＝EA1＋A1D1＋BC＋FC＋EB＋D1F
＝EA＋AD＋BC＋FC＋EB＋DF
＝（EA＋EB）＋AD＋BC＋（FC＋DF）
＝AB＋AD
源于：论文格式www.udooo.com
＋BC＋CD＝2（AB＋BC）＝2（10＋5）＝30
变式 （2012·江苏盐城）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为 .
分析 本题以折纸为背景，考查了邻补角的性质，平行线的性质、三角形中位线定理以及折叠后角重合等问题，考查了同学们的分析问题、解决问题的综合能力.先由中位线定理证明DE∥BC，得到∠ADE=∠B=50°，再
（下转第20页）
（上接第22页）
由折叠可知：∠ADE=∠EDA1，再利用邻补角就可以计算出∠BDA1的度数.随着新课程改革的不断深入，操作型探究题作为考查学生分析、解决问题以及创新意识的良好载体，而逐渐成为中考的热点.操作型问题能够充分培养学生的观察、猜想、验证、推理等数学能力，能启发学生的积极思维.数学思想方法的渗透与学习使学生在认识层次上能够得到较大的提高.所以在教学过程中，要让学生主动地探究，不断提高学生的主体意识、参与能力和勇于创新精神.
四、 变式练习
1. （2009·日照）正方形A■B■C■O，A■B■C■C■，A■B■C■C■，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C■…分别在直线（k＞0）和x轴上，已知点B■ （1，1），B■ （3，2），则Bn的坐标是 ________．
2. （2009·广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）．
3. （2010台州市）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）？摇 ？摇．
（责任编辑：陈 默）