试析向量数学教学中应用向量法

向量方法具有代数和几何的双重特性，因而成为了代数学与几何学这两门传统数学教学课程的汇合点，利用向量方法处理问题，能减少人们对空间形式的依赖和想象，避开烦琐的思维构思模式，缩短逻辑推理过程.
下面结合自己的教学实践，主要针对向量法在高中数学教学中的运用进行分析研究.

一、平面向量

平面向量的基本定理实质上就是将平面内的向量进行分解，继而通过向量运算来研究向量间的关系.从运算的角度来讲，向量可以分为三种运算形式：即几何运算、代数运算和坐标运算.

1.几何运算

此运算方法包括三角形法则、平行四边形法则、多边形法则.利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，使学生学会使用数形结合的解题方法.例如在理解三角形法则时，可以结合力的三角形法则中的应用，三角形法则是一种共点力的合成法则，即把两个共点力中的一个经过平移，使它们首尾相接，再用一个有向线段与这两个力连接成一个三角形，第三边即是所求的合力.

2.代数运算

此运算方法包括加减法的运算法则、实数与向量的乘法法则、向量的数量积运算法则.向量的基本运算与实数运算极其相似，这为学生理解向量和实数的本质联系提供了有力的桥梁.

3.坐标运算

此运算方法是在直角坐标系中的运算，包括加、减、数乘运算，数量积运算.通过向量的坐标运算可以将向量的几何运算与代数运算有机结合起来.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标.向量的坐标运算实际上就是运用加、减、乘、除运算进行解题的过程.例如在知道几个点的坐标之后就可以通过坐标运算的方法解决图形中各点或者线段之间的位置关系.

二、空间向量

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有较高的优越性，比原来处理空间问题的方法更具灵活性.利用空间向量可以判断位置关系、求空间角和求解空间距离，还可以利用空间向量进行探究性的学习.

1.利用空间向量判断位置关系

例如可以利用垂直于平面的向量与不在平面内的直线的

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方向向量垂直来证明直线与平面平行的关系，把直线与平面平行的问题转化为向量与向量的垂直问题.证明线面平行的具体做法是在平面内找到两个不共线的向量，在直线上取另一向量，进而证明线在平面上或与平面平行.

2.利用空间向量求解空间角

用空间向量解决角的问题一般可按下述过程思考：建立适当的空间直角坐标系——要解决的问题需要用到哪些向量——所需要的向量是否已知——对已经表示出来的所需向量进行运算，指出结论.涉及空间角的问题时要设法找出有关的角和距离数值，构造出三角形，进而在三角形中应用勾股定理和正余弦定理来求解.角度问题是立体几何的三大问题（平行、垂直、夹角）之

一、包括异面直线的夹角、线面夹角、二面角.

异面直线夹角：就是异面直线交角与相交直线的夹角的关系，角度范围是0～90°，解题思路是写出异面直线的方向向量，利用数量积算出这两个向量的夹角的余弦值，即可得出异面直线的夹角.
直线与平面的夹角：角度的范围是0～90°，解题思路是求出平面的法向量，写出直线的方向向量，利用数量积算出这两个向量的夹角的余弦值，即可得直线与平面的夹角.
二面角：二面角不同于面面夹角，角度范围是0～180°，解题思路是求出两个平面的法向量，利用数量积算出这两个向量的夹角的余弦值，即可得二面角.

3.利用空间向量求解空间距离

空间距离包括点到平面的距离（一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点到这个平面的距离）、直线到与它平行平面的距离（即直线上任意一点到平面的距离）、两个平行平面的距离（即和两个平行平面同时垂直的直线夹在两个平行平面间的公垂线段的长）、两条异面直线的距离（即求公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度）.点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成向量与此平面法向量的数量积的绝对值除以法向量的模.
总之，向量运算方法是数形结合的典范，它可以把几何问题转化为代数问题，实现“形——数——形”的转化过程，或是把数赋予几何意义，即实现“数——形——数”的转化过程，从而解决数学问题.但是要注意向量的引入还要得当，以免受其物理背景的约束而导致学生认知上的偏差.在向量教学中，怎样寓知识、技能、方法、思想于一个统一的教学过程，是向量教学中的一个重要课题，需要教师在教授过程中不断摸索并加以改进.