本站原创
摘 要：多边形的最小面积外接矩形是图形学、计算机学、地理信息系统等众多领域中经常涉及的一个问题，也是一个极其有用的工具，在实际生产和生活当中也经常会出现这个问题，但是它的求解过程是比较复杂和困难的。提出一种计算多边形最小面积外接矩形的计算机算法，并且对算法的效率和复杂度等进行分析，并通过多种算法实例来验证该算法的可行性和可靠性，充分验证新提出的算法的优越性。
关键词：外接矩形 计算机算法 时间复杂度 MABR算法
1007-3973（2012）008-078-02
1引言
在实际生产生活中经常会遇到各种涉及到数学方法之类的问题，为了能够最大程度的科学而有效的解决生产生活中的经济环境问题，节省材料，使资源得到最大程度的利用，比如在一块给定形状的布料上裁剪形状不同的图案，其他类似的生产工艺也会遇到类似的问题。因此求取多边形的最小面积外接矩形的计算机算法是有着极大的实际意义的。在几何学、图形学等方面，我们常常用外接矩形来近似的描述多边形目标的形状，多边形的外接矩形在图形学领域把它划分中两种表达形式，一种是最小绑定矩形，简称MBR（Minimum Bounding Rectangle），也就是用多边形的定点里的最小坐标和最大坐标来确定的矩形；另外一种表示形式是最小面积外接矩形，
在考虑实际生活中最大程度利用材料的问题时，人们现行的比较普遍的做法是把图形模块放在给定的布料上，按照科学的方法进行一定的布局使得材料利用率最大，从而材料经过裁剪之后浪费的下脚料也变得最小化，节省材料，提高经济效益，保护环境的目的就自然而然地得到一定程度的实现，而对于这样的问题许多文献都已经给出了相应的科学算法。此外，还考虑到工业生产活动中，经常还涉及一些更加复杂的操作工艺，有的材料并非像布匹一样在裁剪时几乎不发生形变，比如金属钢板在一定温度极限下就会发生弹性形变，在进行钢板的切割时钢板已经发生了热变形，而如果计算机程序在执行这样的切割操作时不考虑这个问题，切割出来的效果一定是难以满足工业生产的需求的。所以在由计算机控制的数控切割机的实际运行生产中，会涉及到更加复杂的多边形外接矩形的相关技术，更加复杂的是材料发生形变的原因会有很多，切割机的切割方向和切割顺序、切割温度等因素都会引起不同程度的形变，这时就要充分考虑各种因素，将影响因素的权重、影响方式等转化为数学语言，并最终转化为程序语言，引入到整个切割程序中。基于下料过程中的优化模型和算法已经有很多这方面的文献，本文将会针对以上所提出的实际生产生活背景，详细描述MABR的算法。
2算法的思路
读者可以参考文献[5]提出的一种计算MABR的方法，首先将原理中的变量进行说明，将旋转角度记为a，相应的旋转次数就可以记为90/a，它的具体操作方法是把多边形进行相等间隔的旋转，旋转范围控制在90度以内，每一次旋转都要相应几下该旋转后多边形的最小绑定矩形，而通过比较这些最小绑定矩形的面积，面积最小者也就是我们要求取的最小面积外接矩形。这个参考文献中提出的这种方法也存在着一定的缺陷，它求取的最小面积外接矩形的精确度经常取决于所选择的等间隔旋转的旋转角度大小，因而得到的最小面积外接矩形不是真正意义上最准确的最小面积外接矩形。当算法使用者想要提高计算精度时，相应的就要付出一定的代价，即通过最大程度的缩小旋转间隔的角度，来提高最小面积外接矩形的精度，这时旋转次数就会大大增加，系统计算所花的时间也会相应增加。因而这个方法不能满足人们的需求。此外，也有文献提出用最小二乘法来获取多边形的最佳拟合直线，通过这条拟合直线来进一步的获取最小面积外接矩形。但是这个方法依然存在较大的局限性，算法的提出者检测设任何情况下的最小面积外接矩形的主轴始终与利用最小二乘法求出的最佳拟合直线相平行，但是实际情况里，会出现不满足这种检测设的特例。下图就是一个反例。由图1可以看出最小面积外接矩形并不是最佳拟合直线上的那个矩形，其实际的最小面积外接矩形比按这种方法算出的最小面积外接矩形小0.25倍的根号3。由此可见，MABR的求解问题并没有真正意义上完全解决，为此，下文将详细描述MABR的求解证明和求解算法。
求解任意多边形MABR的算法步骤具体如下：(1)计算多边形的最小凸包，凸包是图形学等领域中经常会涉及的名词，其概念大家都应该非常熟悉，而计算凸包的方法也有大家比较熟知的格雷厄姆算法、分治算法等等。而这些算法中我决定选取格雷厄姆算法，因为它的算法时间复杂性最低；(2)在计算出多边形的凸包之后，在此前提下，选取一条起始边，以这条边的一个端点为旋转中心，以这条边为旋转轴，将多多边形进行旋转，最终使得这条起始边与坐标的横轴相平行。此时计算这个多边形的最小绑定矩形的坐标值，以及被选取的边的编号和这条边被旋转的角度。(3)按一定顺序在用相同的方法去做其他剩余边。(4)比较计算出来的最小绑定矩形的面积，根据其中的最小面积的最小绑定矩形就可以来求我们所需要最小面积外接矩形，即面积最小者按其记录的旋转角度以该边左端点为圆心逆向旋转。
3算法的优越性
以下将会对提出的这种新算法与现存的其他文献中提及的相关算法来进行分析比较，主要是新算法与最佳拟合直线算法的比较、新算法与旋转法的比较以及时间复杂度的分析。从而体现出该算法的优越性、可行性和可靠性。
最佳拟合直线算法和新算法有较大差别，笔者做了对比分析，具体如下：任意一多边形的MABR必与其对应的凸包的一条边相交，故新算法所求的MABR较为精确。但是根据最佳拟合法求出的长轴则可能不平行于MABR的边，算法的思路分析中所举的菱形这一例也证明了这一点，故最佳拟合算法求出的长轴一定平行于MABR的一条边是缺乏足够的理论依据的，它所求出的解自然也是不精确的。旋转法和新算法也存在一定差别：旋转法旋转法需要进行90/a次旋转，a为间隔度。间隔度是一个模糊值，旋转一次需要的时间为O（m）。根据实践可知，当旋转法满足实际的需求时，a 的阈值通常不超过0.05，所以我们认为当多边形的顶点数不足1800时，新算法的时间是小于旋转法的，在实际情况下多边形的顶点数往往会小于1800，而且远不足这个数额，所以该算法较旋转法具备极大的时间优势。此外，旋转法是根据a作为时间间隔来求解具备最小面积的矩形，无论a的取值如何，所求的MABR都不准，都会存在一定偏差，所以新算法的精确性也比旋转法具备优势。
我们对新算法的时间复杂度可以作如下分析：第一步先检测设多边形的边，设它的数量为n，用格雷厄姆算法求解凸壳，复杂度为O（n㏒n），所求的凸壳的边的数量是m（m≤n）；第二步对凸壳进行定点旋转，每旋转一次就将它的m个点分别乘以一个二维矩阵，每次所旋转的二维矩阵的乘法时间复杂度为常数时间，此步骤耗费的时间为O（m）；第三步对凸壳重复第二步再进行m-1次运算，所耗费的时间为O(m2)；第四步比较面积，进行矩形旋转，与
通过论文，提出了一种新的方法来求取最小面积外接矩形，通过数学方法等方式对该方法进行比较科学的理论证明，通过编写的计算机程序的具体例子来进一步阐述。这个新方法建立在原来别人提出的原始的旋转方法的基础上，它最大的优点是有效的消除了原始旋转方法中的时间复杂度和结果精确性不理想的两大问题，具有模块性好的优点，简单效率高，是一种可靠而且实用的多边形最小外接矩形的计算机算法。这样的算法在实际生活和生产中一定可以发挥比较有效的实际意义，当然这个算法也不可避免的存在着一些问题，比如多边形的时间复杂度仍然不尽人意，还需要进一步的改善和提高。
参考文献：
周培德.计算几何——算法设计与分析(第2版)[M].北京:清华大学出版社,2005.
曹新明,蒋瑞斌.不规则零件最小包络矩形的求解研究[J].科
[3] 闫浩文.空间方向关系理论研究[M].成都:成都地图出版社,2003:23-34.
[4] 田怀文,李涛.反求建模中的形状特征分析[A].第5届中国计算机图形学大会论文集[C].西安:西北工业大学出版社,2004:164-167.
[5] (美)卡斯尔曼(Castleman K R).数字图像处理[M].朱志刚等,译.北京:电子工业出版社,2002:412-413
[6] 程鹏飞,闫浩文,韩振辉.一个求解多边形最小面积外接矩形的算法[J].工程图学学报,2008(1):122-126.
关键词：外接矩形 计算机算法 时间复杂度 MABR算法
1007-3973（2012）008-078-02
1引言
在实际生产生活中经常会遇到各种涉及到数学方法之类的问题，为了能够最大程度的科学而有效的解决生产生活中的经济环境问题，节省材料，使资源得到最大程度的利用，比如在一块给定形状的布料上裁剪形状不同的图案，其他类似的生产工艺也会遇到类似的问题。因此求取多边形的最小面积外接矩形的计算机算法是有着极大的实际意义的。在几何学、图形学等方面，我们常常用外接矩形来近似的描述多边形目标的形状，多边形的外接矩形在图形学领域把它划分中两种表达形式，一种是最小绑定矩形，简称MBR（Minimum Bounding Rectangle），也就是用多边形的定点里的最小坐标和最大坐标来确定的矩形；另外一种表示形式是最小面积外接矩形，
源于：毕业设计论文致谢www.udooo.com
简称MABR（Minimum Area Bounding Rectangle），本文将会详细描述任意多边形的MABR的算法及其程序实现。在考虑实际生活中最大程度利用材料的问题时，人们现行的比较普遍的做法是把图形模块放在给定的布料上，按照科学的方法进行一定的布局使得材料利用率最大，从而材料经过裁剪之后浪费的下脚料也变得最小化，节省材料，提高经济效益，保护环境的目的就自然而然地得到一定程度的实现，而对于这样的问题许多文献都已经给出了相应的科学算法。此外，还考虑到工业生产活动中，经常还涉及一些更加复杂的操作工艺，有的材料并非像布匹一样在裁剪时几乎不发生形变，比如金属钢板在一定温度极限下就会发生弹性形变，在进行钢板的切割时钢板已经发生了热变形，而如果计算机程序在执行这样的切割操作时不考虑这个问题，切割出来的效果一定是难以满足工业生产的需求的。所以在由计算机控制的数控切割机的实际运行生产中，会涉及到更加复杂的多边形外接矩形的相关技术，更加复杂的是材料发生形变的原因会有很多，切割机的切割方向和切割顺序、切割温度等因素都会引起不同程度的形变，这时就要充分考虑各种因素，将影响因素的权重、影响方式等转化为数学语言，并最终转化为程序语言，引入到整个切割程序中。基于下料过程中的优化模型和算法已经有很多这方面的文献，本文将会针对以上所提出的实际生产生活背景，详细描述MABR的算法。
2算法的思路
读者可以参考文献[5]提出的一种计算MABR的方法，首先将原理中的变量进行说明，将旋转角度记为a，相应的旋转次数就可以记为90/a，它的具体操作方法是把多边形进行相等间隔的旋转，旋转范围控制在90度以内，每一次旋转都要相应几下该旋转后多边形的最小绑定矩形，而通过比较这些最小绑定矩形的面积，面积最小者也就是我们要求取的最小面积外接矩形。这个参考文献中提出的这种方法也存在着一定的缺陷，它求取的最小面积外接矩形的精确度经常取决于所选择的等间隔旋转的旋转角度大小，因而得到的最小面积外接矩形不是真正意义上最准确的最小面积外接矩形。当算法使用者想要提高计算精度时，相应的就要付出一定的代价，即通过最大程度的缩小旋转间隔的角度，来提高最小面积外接矩形的精度，这时旋转次数就会大大增加，系统计算所花的时间也会相应增加。因而这个方法不能满足人们的需求。此外，也有文献提出用最小二乘法来获取多边形的最佳拟合直线，通过这条拟合直线来进一步的获取最小面积外接矩形。但是这个方法依然存在较大的局限性，算法的提出者检测设任何情况下的最小面积外接矩形的主轴始终与利用最小二乘法求出的最佳拟合直线相平行，但是实际情况里，会出现不满足这种检测设的特例。下图就是一个反例。由图1可以看出最小面积外接矩形并不是最佳拟合直线上的那个矩形，其实际的最小面积外接矩形比按这种方法算出的最小面积外接矩形小0.25倍的根号3。由此可见，MABR的求解问题并没有真正意义上完全解决，为此，下文将详细描述MABR的求解证明和求解算法。
求解任意多边形MABR的算法步骤具体如下：(1)计算多边形的最小凸包，凸包是图形学等领域中经常会涉及的名词，其概念大家都应该非常熟悉，而计算凸包的方法也有大家比较熟知的格雷厄姆算法、分治算法等等。而这些算法中我决定选取格雷厄姆算法，因为它的算法时间复杂性最低；(2)在计算出多边形的凸包之后，在此前提下，选取一条起始边，以这条边的一个端点为旋转中心，以这条边为旋转轴，将多多边形进行旋转，最终使得这条起始边与坐标的横轴相平行。此时计算这个多边形的最小绑定矩形的坐标值，以及被选取的边的编号和这条边被旋转的角度。(3)按一定顺序在用相同的方法去做其他剩余边。(4)比较计算出来的最小绑定矩形的面积，根据其中的最小面积的最小绑定矩形就可以来求我们所需要最小面积外接矩形，即面积最小者按其记录的旋转角度以该边左端点为圆心逆向旋转。
3算法的优越性
以下将会对提出的这种新算法与现存的其他文献中提及的相关算法来进行分析比较，主要是新算法与最佳拟合直线算法的比较、新算法与旋转法的比较以及时间复杂度的分析。从而体现出该算法的优越性、可行性和可靠性。
最佳拟合直线算法和新算法有较大差别，笔者做了对比分析，具体如下：任意一多边形的MABR必与其对应的凸包的一条边相交，故新算法所求的MABR较为精确。但是根据最佳拟合法求出的长轴则可能不平行于MABR的边，算法的思路分析中所举的菱形这一例也证明了这一点，故最佳拟合算法求出的长轴一定平行于MABR的一条边是缺乏足够的理论依据的，它所求出的解自然也是不精确的。旋转法和新算法也存在一定差别：旋转法旋转法需要进行90/a次旋转，a为间隔度。间隔度是一个模糊值，旋转一次需要的时间为O（m）。根据实践可知，当旋转法满足实际的需求时，a 的阈值通常不超过0.05，所以我们认为当多边形的顶点数不足1800时，新算法的时间是小于旋转法的，在实际情况下多边形的顶点数往往会小于1800，而且远不足这个数额，所以该算法较旋转法具备极大的时间优势。此外，旋转法是根据a作为时间间隔来求解具备最小面积的矩形，无论a的取值如何，所求的MABR都不准，都会存在一定偏差，所以新算法的精确性也比旋转法具备优势。
我们对新算法的时间复杂度可以作如下分析：第一步先检测设多边形的边，设它的数量为n，用格雷厄姆算法求解凸壳，复杂度为O（n㏒n），所求的凸壳的边的数量是m（m≤n）；第二步对凸壳进行定点旋转，每旋转一次就将它的m个点分别乘以一个二维矩阵，每次所旋转的二维矩阵的乘法时间复杂度为常数时间，此步骤耗费的时间为O（m）；第三步对凸壳重复第二步再进行m-1次运算，所耗费的时间为O(m2)；第四步比较面积，进行矩形旋转，与
二、三两步相比为线性时间。综合分析下来整个算法的时间复杂度为O（m2）。
4结束语通过论文，提出了一种新的方法来求取最小面积外接矩形，通过数学方法等方式对该方法进行比较科学的理论证明，通过编写的计算机程序的具体例子来进一步阐述。这个新方法建立在原来别人提出的原始的旋转方法的基础上，它最大的优点是有效的消除了原始旋转方法中的时间复杂度和结果精确性不理想的两大问题，具有模块性好的优点，简单效率高，是一种可靠而且实用的多边形最小外接矩形的计算机算法。这样的算法在实际生活和生产中一定可以发挥比较有效的实际意义，当然这个算法也不可避免的存在着一些问题，比如多边形的时间复杂度仍然不尽人意，还需要进一步的改善和提高。
参考文献：
周培德.计算几何——算法设计与分析(第2版)[M].北京:清华大学出版社,2005.
曹新明,蒋瑞斌.不规则零件最小包络矩形的求解研究[J].科
摘自：学年论文范文www.udooo.com
技通报,2007,23(1):102-105.[3] 闫浩文.空间方向关系理论研究[M].成都:成都地图出版社,2003:23-34.
[4] 田怀文,李涛.反求建模中的形状特征分析[A].第5届中国计算机图形学大会论文集[C].西安:西北工业大学出版社,2004:164-167.
[5] (美)卡斯尔曼(Castleman K R).数字图像处理[M].朱志刚等,译.北京:电子工业出版社,2002:412-413
[6] 程鹏飞,闫浩文,韩振辉.一个求解多边形最小面积外接矩形的算法[J].工程图学学报,2008(1):122-126.