初中数学难题举例

摘 要：初中数学涵盖了函数、方程、几何、统计概率等多方面的内容，涉及面广，知识含量大。通过从众多的习题中择选出稍有难度而又具有典型意义的几个，进行分析讲解，以提供教学上可以为之借鉴的经验。
关键词：初中数学；难题分析；教学方法
如果当教师时间久了就会对这样的情境深有体会：教材中的例题也好，习题也

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罢，可以得心应手地做出来，给学生讲起来也毫不费力。可是如果学生把一些课外资料上遇到的不会做的题目，拿给老师要求讲解，老师多半要思考一会儿。有的甚至当场想不起解决的办法，这样会很难堪。偶尔出现一两次这样的情况还可以，但是经常这样，作为老师在学生心目中的权威形象就要大打折扣了，更不利于今后教学活动的开展。怎么样避免这种情况的发生，惟一的办法就是老师自己多做难题，多了解，多分析，只有见多识广，才能来者不惧。
例题1.如图所示，设点P是平行四边形ABCD中的一点，而且∠PAB=∠PCB，试证明：∠PDA=∠PBA。
对于这道题一般的辅助线不起作用，我们可以考虑添加一个圆作为辅助，这样问题就会迎刃而解了。具体解题步骤如下：
证明：过点D、C、P作圆。过点P作P′P∥DA交圆于P′D、P′C
∵ABCD为平行四边形
∴∠BCD=∠BAD
∵∠PCB=∠PAB
∴∠PCD=∠PAD
∵∠PCD=∠PP′D
∴∠PAD=PP′D
∴ADP′P是平行四边形
∵BC∥PP′，且BC=PP′
∴PBCP′是平行四边形
∴CP′∥PB
∵DC∥AB
∴∠P′CD=∠PBA
∵∠PDA=∠P′PD=∠P′CD
∴∠PDA=∠PBA
例题2.一项工程需要在规定的日期内完成，如果由一队单独做，刚好按期完成；如果由二队单独做，要比规定日期晚三天完成。现在，一队和二队合作完成这项工程两天，剩下的工程二队再单独完成，刚好在规定日期做完，请问规定的日期为多少天？按照题意可以列方程如下：
例题3.某班共有50个学生，老师让每人制作一件工艺品，可以做工艺品A，也可以做工艺品B。制作一件工艺品A共需要材料甲0.9千克，材料乙0.3千克；制作一件工艺品B共需要材料甲0.4千克，材料乙

1.0千克。现在老师共为学生准备了材料甲36千克，材料乙29千克。

问题

1.设制作B工艺品x件，求x取值的范围。

问题

2.由现在给出的材料甲与乙，算出该班学生能制作出两种工艺品的件数。

本题要求用不等式组来解决问题，题目中没有要求两种材料全部要用完，所以只要不超过材料总量就可以了。我们可以根据不等式组，便能求得x的取值范围。有了取值范围两种工艺品总的制定件数也就很容易得到了。
解：从题意，可得
0.9x（50-x）+0.4x≤36 ①
0.3（50-x）+x≤29 ②
从①得到x≥18，从②得到x≤20
由以上可以很容易得到，制作AB两种工艺品的三个方案，件数分别是

1.制作A型工艺品32件，B型工艺品18件

2.制作A型工艺品30件，B型工艺品20件

3.制作A型工艺品31件，B型工艺品19件

例题4.在河边线l上选择一点P，从点P引水到点A和点B作为生活用水，问怎样取点P，才可使到A与B点两条管道的总长最短。请说明理由。
我们分析解决这样的问题，学生对题意能够理解，但是却不能把题目和所学的知识结合到一起。实则此题和轴对称的知识联系起来，使AB当中的任何一点进行移位，继而利用两点之间线段最短的基本知识，使问题得到解决。对于类似涉及知识迁移的问题，其本身的知识点并不难，但是对于学生来讲，可能一时不知从何下手，教师要做好心理准备，来面对学生提出这样的问题。
初中数学对于学生来讲很多时候要掌握方法和技巧，才会做题，对于老师来讲也是如此。但是与此同时不论是学生还是老师，熟练应用也是一个必不可少的环节。惟有多了解、多练习，数学习题才会得心应手地得到解决。所不同的是学生考虑的是如何解题，教师要考虑的是，如何让学生学会解题。当然不要碰到难题就去做，那样时间上不允许，怎么样进行习题的选择，要根据自身素质，也要根据自己所教学生的素质来分析。
（作者单位 甘肃省兰州市第八中学）