本站原创
为了适合中学生阅读，这里先说时f(x)=ax2+bx+c的意义。它实际上就是二次函数记法，f(m)=am2+bm+C，例如对f(x)=x2+3x+2，则f(0)=2，f(1)=6。
方程的根的分布是个比较复杂的问题，我们可从数形结合的思想上来看，即从二次函数的图像来考察一元二次方程根的分布。由于一元二次方程ax2+bx+c=0总可化为a>0的形式，因此下面只讨论a>0的情况。
1、两实数根都小于某常数k，即x10，（3）-b2ak，x2>k，则有且只有：（1）△=b2-4ac≥0，（2）f(k)>0，（3）-b2a2、某常数K在两实根之间，即x10，（2）f(k)<0，但此时因为a>0图像开口身上，f(k)<0，所以由此可以判断图像与x轴一定有两个交点，故此时可略去△=b2-4ac0>0，即：当且仅当f(k)<0，x13、两实根位于某两数之间，画出其图像如图3；则有（1）△=b2-4ac≥0，（2）f(k1)>0，（3）f(k2)>0，（4）k1<-b2a4、常数k1、k2在两根之间，则有x1k2，如图4，只须f(k1)<0，f(k2) <0。
5、x1、x2有且仅有一个在k1与k2之间（k10，或f(k1)>0，f(k2)<0，只须f(k1)·f(k2)<0，由上可得如下推论：
推论1，一元二次方程有两负实根的条件为（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a，（3）f(0)=c>0，有两正实根的条件为（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a>0，（3）f(0)=c>0。
推论2，一元二次方程两根异号的条件为：b2-4ac>0，f(0)=c>0。
例1，设方程（m2-1）x2+（2m-9）x+2-m2=0的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。
解：由题意有
（1）若m2-1>0 则f(1)<0
（2）若m2-1<0 则f(1)>0
也就是（m2-1）[m2-1+2m-9+2-m2]<0
解得m<-1或1因此m的范围为m<1或1例2，设方程2x2-4x+m=0的一根在（1，3）内，另一根小于1，求m。
解：方程的条件可分为两部分：两根均小于3，且一根大于1，一根小于1。
f(1)<0f(3)>0 即m+2<0
解得-6例3，若方程ax2-（a-3）x+（a-3）=0两根的绝对值均小于1，求a的范围。
解：两根绝对值均小于1，即两根在-1与1之间：
所以af(-1)>0
af(1)>0
-1<-(a-3)2a<1
△=[-（a-3）]2-4a（a-2）≥0
即a>0
a>0
1-1≤a≤3
所以 2
方程的根的分布是个比较复杂的问题，我们可从数形结合的思想上来看，即从二次函数的图像来考察一元二次方程根的分布。由于一元二次方程ax2+bx+c=0总可化为a>0的形式，因此下面只讨论a>0的情况。
1、两实数根都小于某常数k，即x1
5、x1、x2有且仅有一个在k1与k2之间（k1
推论1，一元二次方程有两负实根的条件为（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a，（3）f(0)=c>0，有两正实根的条件为（1）△=b2-4ac≥0，（2）-b2a>0，（3）f(0)=c>0。
推论2，一元二次方程两根异号的条件为：b2-4ac>0，f(0)=c>0。
例1，设方程（m2-1）x2+（2m-9）x+2-m2=0的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。
解：由题意有
（1）若m2-1>0 则f(1)<0
（2）若m2-1<0 则f(1)>0
源于：论文格式字体www.udooo.com
即：（m2-1）·f(1)<0也就是（m2-1）[m2-1+2m-9+2-m2]<0
解得m<-1或1
解：方程的条件可分为两部分：两根均小于3，且一根大于1，一根小于1。
f(1)<0f(3)>0 即m+2<0
解得-6
解：两根绝对值均小于1，即两根在-1与1之间：
所以af(-1)>0
af(1)>0
-1<-(a-3)2a<1
△=[-（a-3）]2-4a（a-2）≥0
即a>0
a>0
1-1≤a≤3
所以 2