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摘要： 数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。本文通过具体实例说明数形结合思想在解题中的应用。关键词：数形结合；典型例题； 应用
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。数形结合的思想方法是在研究问题过程中，将图形性质的问题与数量关系的问题相互转化使复杂问题简单化、形象化，使直观问题深刻化，从而有效解决问题。下面，我将从以下几方面来说明数形结合思想在解题中的应用。
例1、已知集合A=x|－10时集合A应该覆盖集合B,应有成立a≥－13a≤3a>0 ，即0图1
例2、某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：
①40个学生每人都至少解出一道题②在没有解出第一道题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍③仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个④仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析：本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解。解：设集合A={解出第一道题的学生数}，集合B={解出第二道题的学生数}，集合C={解出第三道题的学生数}，如图2，可得a+b+c+d+e+f+g=40b+f=2(c+f)a=d+e+g+1a=b+c 解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.
例4、解方程3
例5、设方程x2－1=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析：我们可把这个问题转化为确定函数y1=x2－1与y2=k+1图像（图6）交点个数情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：①当k<－1时， y1与y2没有交点，这时原方程无解;②当k=－1时， y1与y2有两个交点,原方程有两个不同的解;③当－10时y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有三个．
图6图7例6、设α、β分别是方程log2x+x－4=0和2x+x－4=0的根，则α＋β＝。分析：依题意，分别作出函数①y＝x－4 ②y=2x及③y=log2x的图像，如图7，曲线①与③、①与②的交点B、A的横坐标即为α、β ，可知B、A关于直线y＝x对称，由方程组y=4－xy=x 得点C的坐标为（2,2），∴α＋β＝42、利用函数的图像求不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例7、解不等式x+2>x分析：本题若用常规解法，要分两种情形：（Ⅰ）x≥0x+2≥0x+2＞x2 或（Ⅱ）x＜0x+2≥0
比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下：令y1=x+2，y2=x，则不等式x+2>x的解，就是使y1=x+2的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标，如图8不等式的解集为{x|xA≤x
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。数形结合的思想方法是在研究问题过程中，将图形性质的问题与数量关系的问题相互转化使复杂问题简单化、形象化，使直观问题深刻化，从而有效解决问题。下面，我将从以下几方面来说明数形结合思想在解题中的应用。
一、集合问题
在集合运算中常借助数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，使问题简化，使运算快捷明了。例1、已知集合A=x|－1
例2、某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：
①40个学生每人都至少解出一道题②在没有解出第一道题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍③仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个④仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析：本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解。解：设集合A={解出第一道题的学生数}，集合B={解出第二道题的学生数}，集合C={解出第三道题的学生数}，如图2，可得a+b+c+d+e+f+g=40b+f=2(c+f)a=d+e+g+1a=b+c 解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.
二、函数问题
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像进行直观比较。例3、判断0.32,log20.3,20.3三个数的大小．分析：这三个数我们可以看成三个函数: y1=x2,y2=log2x,y3=2x在x=0.3时，所对应的函数值．在同一坐标系内做出三个函数的图像(图3)，可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点P1 ,P2 ,P3 的位置，从而可得出结论：20.3>0.32>log20.3。三、解决方程与不等式的问题
1、利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题．对于一些不规则的方程，通过构造两个函数，然后，把方程的根转化为两个函数的交点问题。例4、解方程3
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x=2－x分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数y=3x与y=2－x,做出这两个函数的图像（图5）,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4．例5、设方程x2－1=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况．分析：我们可把这个问题转化为确定函数y1=x2－1与y2=k+1图像（图6）交点个数情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：①当k<－1时， y1与y2没有交点，这时原方程无解;②当k=－1时， y1与y2有两个交点,原方程有两个不同的解;③当－1
图6图7例6、设α、β分别是方程log2x+x－4=0和2x+x－4=0的根，则α＋β＝。分析：依题意，分别作出函数①y＝x－4 ②y=2x及③y=log2x的图像，如图7，曲线①与③、①与②的交点B、A的横坐标即为α、β ，可知B、A关于直线y＝x对称，由方程组y=4－xy=x 得点C的坐标为（2,2），∴α＋β＝42、利用函数的图像求不等式的解集．求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与x轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例7、解不等式x+2>x分析：本题若用常规解法，要分两种情形：（Ⅰ）x≥0x+2≥0x+2＞x2 或（Ⅱ）x＜0x+2≥0
比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下：令y1=x+2，y2=x，则不等式x+2>x的解，就是使y1=x+2的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标，如图8不等式的解集为{x|xA≤x
四、利用现有的几何模型，如：
1、(x－a)2+(y－b)2距离函数 2、y－ax－b斜率函数 3、Ax＋B 截距函数4、F(cosθ,sinθ)单位圆x2+y2＝1上的点(cosθ,sinθ)5、ax+bcx+d双曲线源于：论文网站大全www.udooo.com