本站原创
【摘要】本文针对常微分方程只重视研究通解，而忽视全部解的现象，讨论了通解与全部解的关系：微分方程的全部解应由通解与特解、常数解构成；当特解与常数解都能包含于通解时，通解才是全部解；而对全微分方程、线性方程（组），它们的通解就是全部解.由此可以改进常微分方程的教学体系.
【关键词】常微分方程；通解；全部解
定理1一个常微分方程的全部解通常包括通解以及不能包含在通解内的特解或常数解.
求解常微分方程，应该求出它的满足条件的全部解，即使有时只要求初值问题的解，但是为了避免漏解，仍然必须讨论原方程的全部解.有关于此的例子，散见于所有《常微分方程》教材中“初等积分法”的“变量可分离方程”、“齐次方程”等章节，然而这些教材却没有介绍定理1，有些例题的解答默认了定理1，显然有失严密性.下面谨以常用的实例略加说明.
教材在解答类似问题时缺省了表出全部解的步骤，这样容易导致两个问题，一是初值问题的解为什么要借助通解来研究，二是用这样的方法求初值问题的解会不会造成漏解.
本例给出的解答很好地避免或解决了上述问题，因为根据定理1，本题的特解只能从通解和常数解中探求.
虽然本题只要求初值问题的解，但是讨论原方程的全部解却是解答此类问题必不可少的重要内容.
东北师范大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.
王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3]钱明忠，陈友朋.常微分方程的通解[J].高等数学研究，2007，10（4）.
【关键词】常微分方程；通解；全部解
一、通解与特解、常数解构成全部解
根据常微分方程解的定义，下摘自：毕业论文题目www.udooo.com
面的结论显而易见.定理1一个常微分方程的全部解通常包括通解以及不能包含在通解内的特解或常数解.
求解常微分方程，应该求出它的满足条件的全部解，即使有时只要求初值问题的解，但是为了避免漏解，仍然必须讨论原方程的全部解.有关于此的例子，散见于所有《常微分方程》教材中“初等积分法”的“变量可分离方程”、“齐次方程”等章节，然而这些教材却没有介绍定理1，有些例题的解答默认了定理1，显然有失严密性.下面谨以常用的实例略加说明.
教材在解答类似问题时缺省了表出全部解的步骤，这样容易导致两个问题，一是初值问题的解为什么要借助通解来研究，二是用这样的方法求初值问题的解会不会造成漏解.
本例给出的解答很好地避免或解决了上述问题，因为根据定理1，本题的特解只能从通解和常数解中探求.
虽然本题只要求初值问题的解，但是讨论原方程的全部解却是解答此类问题必不可少的重要内容.
二、通解是全部解的条件
三、线性方程（组）的通解就是全部解
【参考文献】东北师范大学微分方程教研室.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005.
王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3]钱明忠，陈友朋.常微分方程的通解[J].高等数学研究，2007，10（4）.