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摘要：极限从萌芽期到发展、完善，是数学家们在实践、应用与研究的过程中思想结晶。微积分以极限为基础，利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念。可以这样说极限思想是微积分乃至全部高等数学中不可缺少的重要方法。极限理论的建立导致了数学史上的一次革命，由此发展起来的微积分成为各学科的一把利剑，解决了数学、物理等领域的问题，上世纪开始成为经济学家的有力工具。
关键词：极限；变量与常量；无穷小；微积分
庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。
一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。毫无疑问极限也是社会实践的产物。
公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。刘徽将正多边形的面积算到了3072边形，由此求出的圆周率为3.1416，是当时世界上最早也是最准确的数据。并且刘徽把这种思想方法推广到圆的有关计算。刘徽的 “割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位。这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础．
在中国数学的发展史上曾出现了刘徽、墨子、惠施等
十六世纪初极限概念仍停留在粗浅的描述上，由于人们习惯于常量数学的思维方法，对无限与有限的辩证关系仍然是模糊的。进入十七世纪，特别是牛顿在建立微积分的过程中，由于极限的没有准确的概念，也就无法确定无穷小的身份，利用无穷小运算时，牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时，无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零，约掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，显然这种数学推导在逻辑上是站不住脚的。那么，无穷小量是零还是非零？这个问题困扰牛顿也困扰着与牛顿同时代的众多数学家。仅用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题。极限的本质没有被触及到。真正意义上的极限概念是产生于十七世纪，由英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念，他认为变量的极限是当变量无限逼近的一个常数，它们的差是一个给定的任意小的量。他的这种描述，把两个无限变化的过程表述出来，揭示了极限的核心内容。约翰的这个表述将极限思想向前做了延伸。
十九世纪法国数学家柯西在《分析教程》中比较完整的说明了极限概念及理论。他说：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限。柯西还指出数零是无穷小的极限。这个思想已经摆脱了常量数学的束缚，走向变量数学，表现了无限与有限的辩证关系。柯西的定义已经用数学语言准确的表达了极限的思想，但这表达还是定性的描述性的。德国数学家，被誉为“现代分析之父”维尔斯特拉斯提出了极限的定量的定义，给微积分提供了严格的理论基础.： “如果对任何ε ＞ 0，总存在自然数N，使得当 n ＞ N时，不等式|- A| ＜ ε恒成立”. 这个定义定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系，排除了以前极限概念中的直观痕迹，将极限思想转化为数学的语言，用数学的方法描述，完成了从思想到数学的一个转变，使极限思想在数学理论体系中占有了合法的地位，在数学分析书籍中，这种描述一直沿用至今。
利用极限的思想方法，微积分解决了很多常量数学不能解决的问题，比如瞬时速度、曲边梯形的面积，曲线弧长、曲面体的体积等，“弯曲”、“变速”、“无限变化”的问题都迎刃而解。变速可以看成当时间很短时的“匀速”，曲线也可看成在长度很短时的“直线”，这种“曲”与“直”，“变”与“匀”，“无限”与“有限”的关系，有本质的区别，但又是在一定条件下可以转化，这正是极限的关键所在，把“曲”“变”“无限”的问题转化为“直”“匀”“有限”用我们熟悉的方法去解决。无限是高等数学与初等数学的分水岭，极限是概念是迈向高数的一个台阶，是联系常量数学与变量数学的桥梁，当理解了极限的理论之后，微积分的基本概念也就迎刃而解。
回顾数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。十六世纪后数学进入快速发展的时期。我们惊叹于数学的精确与完美，陶醉于她的节奏与韵律，期待她的向更深更新的领域迈进。从中西方古代的极限思想萌芽，到极限理论的产生建立，历经数千年，其理论从零散到系统及至完美的数学理论，这种思想凝结着数学家的心血，闪烁着他们智慧的光芒，是人类的巨大财富。
参考书目：[美]莫理斯﹒克莱因 古今中外数学思想 上海科学出版社
马中林 数学教学论 广西教育出版社
易南轩 王芝平 多元视角下的数学文化 科学出版社
个人简历：李玉玲，女，1962年出生，大学本科，物理专业，副教授。从1981年7月参加工作至今30余年一直从事教学工作，发表过多篇论文，研究方向：数学教育。
关键词：极限；变量与常量；无穷小；微积分
庞加莱说过：能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。
一切数学概念都来自于社会实践，来源于生活现实的思想的火花，被数学家们捕捉到以后，经过千锤百炼，被提炼成概念。再经过使用，推敲、充实、拓展，不断完善形成经典的理论。数学中的概念、定理等无一例外都会经历这个过程。毫无疑问极限也是社会实践的产物。
一、中国古代极限思想
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这是战国时期庄子在他的《天下篇》记载的惠施的一段话。也就是说一尺长的木棒，第一天取去一半，还剩二分之一尺，第二天再在这二分之一尺中取去一半，还剩下四分之一尺……。按照这样的分法分下去，长度越来越小，但无论多小，永远分不完。也就是说随着分割的次数增加，棰会越来越短 ，长度接近于零，但又永远不会等于零。墨家观点与惠施不同，提出一个“非半”的命题，墨子说“非半弗，则不动，说在端” 。意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。墨家有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想，名家则有“无限分割”的思想。名家的命题论述了有限长度“无限可分”性，墨家的命题指出了无限分割的变化和结果。显然名家和墨家的讨论，对数学理论的发展具有巨大推动作用。现在看来，先秦诸子中的名、墨两家，对宇宙的无限性与连续性认识已相当深刻，在那时这些认识是片断的、零散的，更多地属于哲学范畴，但已反映出极限思想的萌芽，这无疑成为极限概念产生的丰厚的沃土。公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他创造性地将极限思想应用到数学领域。所谓割圆术，具体的方法是把圆周分割得越细，内接多边形的边数越多，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，当到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周几乎“吻合”，进而完全一致了。刘徽将正多边形的面积算到了3072边形，由此求出的圆周率为3.1416，是当时世界上最早也是最准确的数据。并且刘徽把这种思想方法推广到圆的有关计算。刘徽的 “割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。后来祖冲之用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位。这种对于某个值无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础．
在中国数学的发展史上曾出现了刘徽、墨子、惠施等
源于：论文参考文献格式www.udooo.com
天才的数学家，但他们的数学研究和成就远远不及西方同时期的阿基米得、欧几里德等数学家。主要原因是我国古代数学理论研究没有受到相应的重视。农业经济使人们终日疲于劳作，经济的困顿使得没有多少人来学文化，学数学的人自然更少，有限的经济状况不允许人们的思想向实用以外的地方拓展；隋朝开始的科举制度为“学而优则仕”而奋斗的人们提供了搏杀的战场，也扼杀了大批在数学研究上具有不凡才华的人；农业社会的经济特点限制了人们对自然的探险和对理论的求索，从而阻止了数学向理性的发展可能。二、极限概念的发展
数学的发展与其社会背景紧密相关，社会的发展一方面为数学的发展提供了条件，另一方面又提出了大量的需要解决的问题。数学这个科学之母自然被推动向前发展。16世纪西方社会处于资本主义起步时期，也是思想与科学技术的爆发时期。科学、生产、技术中出现许多问题。对此只研究常量的初等数学已面临困境。大量的问题涌出，象怎样求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积这种无限、运动等问题困扰数学家。正是在这样的时代背景下，极限概念被发展完善，微积分也形成系统的理论体系。十六世纪初极限概念仍停留在粗浅的描述上，由于人们习惯于常量数学的思维方法，对无限与有限的辩证关系仍然是模糊的。进入十七世纪，特别是牛顿在建立微积分的过程中，由于极限的没有准确的概念，也就无法确定无穷小的身份，利用无穷小运算时，牛顿做出了自相矛盾的推导：在用“无穷小”作分母进行除法时，无穷小量不能为零；而在一些运算中又把无穷小量看作零，约掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，显然这种数学推导在逻辑上是站不住脚的。那么，无穷小量是零还是非零？这个问题困扰牛顿也困扰着与牛顿同时代的众多数学家。仅用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题。极限的本质没有被触及到。真正意义上的极限概念是产生于十七世纪，由英国数学家约翰瓦里斯提出了变量极限的概念，他认为变量的极限是当变量无限逼近的一个常数，它们的差是一个给定的任意小的量。他的这种描述，把两个无限变化的过程表述出来，揭示了极限的核心内容。约翰的这个表述将极限思想向前做了延伸。
十九世纪法国数学家柯西在《分析教程》中比较完整的说明了极限概念及理论。他说：当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限。柯西还指出数零是无穷小的极限。这个思想已经摆脱了常量数学的束缚，走向变量数学，表现了无限与有限的辩证关系。柯西的定义已经用数学语言准确的表达了极限的思想，但这表达还是定性的描述性的。德国数学家，被誉为“现代分析之父”维尔斯特拉斯提出了极限的定量的定义，给微积分提供了严格的理论基础.： “如果对任何ε ＞ 0，总存在自然数N，使得当 n ＞ N时，不等式|- A| ＜ ε恒成立”. 这个定义定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系，排除了以前极限概念中的直观痕迹，将极限思想转化为数学的语言，用数学的方法描述，完成了从思想到数学的一个转变，使极限思想在数学理论体系中占有了合法的地位，在数学分析书籍中，这种描述一直沿用至今。
三、极限与微积分
在极限理论缺乏完整的定义时与极限概念并驾齐驱的微积分总被质疑与攻击。牛顿与莱布尼茨以无穷小为基础建立微积分的理论，由于理论的不完善，遇到逻辑上的困难，由于先天不足，牛顿也难以自圆其说，微积分的发展步履艰难。随着极限理论的发展，柯西将无穷小定义为是以零为极限的变量，至此柯西澄清了前人的无穷小是“零”又“非零”的混乱，给无穷小以明确的身份。极限的理论逐步走向成熟，牛顿与莱布尼茨接受了极限的思想，微积分理论基础趋于牢固。极限，象是一把钥匙，将微积分的大门打开之后，一系列的概念就产生、完善和坚固 。微积分的基本概念都离不开极限，利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念。可以这样说极限思想是微积分乃至全部高等数学中不可缺少的重要方法。极限理论的建立导致了数学史上的一次革命，由此发展起来的源于：科技论文写作www.udooo.com
微积分成为各学科的一把利剑，解决了数学、物理等领域的问题，上世纪开始成为经济学家的有力工具。利用极限的思想方法，微积分解决了很多常量数学不能解决的问题，比如瞬时速度、曲边梯形的面积，曲线弧长、曲面体的体积等，“弯曲”、“变速”、“无限变化”的问题都迎刃而解。变速可以看成当时间很短时的“匀速”，曲线也可看成在长度很短时的“直线”，这种“曲”与“直”，“变”与“匀”，“无限”与“有限”的关系，有本质的区别，但又是在一定条件下可以转化，这正是极限的关键所在，把“曲”“变”“无限”的问题转化为“直”“匀”“有限”用我们熟悉的方法去解决。无限是高等数学与初等数学的分水岭，极限是概念是迈向高数的一个台阶，是联系常量数学与变量数学的桥梁，当理解了极限的理论之后，微积分的基本概念也就迎刃而解。
回顾数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。十六世纪后数学进入快速发展的时期。我们惊叹于数学的精确与完美，陶醉于她的节奏与韵律，期待她的向更深更新的领域迈进。从中西方古代的极限思想萌芽，到极限理论的产生建立，历经数千年，其理论从零散到系统及至完美的数学理论，这种思想凝结着数学家的心血，闪烁着他们智慧的光芒，是人类的巨大财富。
参考书目：[美]莫理斯﹒克莱因 古今中外数学思想 上海科学出版社
马中林 数学教学论 广西教育出版社
易南轩 王芝平 多元视角下的数学文化 科学出版社
个人简历：李玉玲，女，1962年出生，大学本科，物理专业，副教授。从1981年7月参加工作至今30余年一直从事教学工作，发表过多篇论文，研究方向：数学教育。