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摘要：捕捉课堂教学中学生灵光一闪的瞬间，给出合理、恰当的解析，既是教师的基本功底，又是对学生的最好尊重，同时，也是培养学生数学学习的积极性，进而提高教学效益． 简洁，必有其合理的一面；“巧解”，未必全是正确，直观的判定需要理性分析，更需要教师积极保护与支持．
关键词：巧解；溯源；分析
巧解与通性通法是相互对立统一的辩证关系，与通性通法对比而来． 在数学学习过程中，始终贯穿其中． 捕捉学生“思维火花”的瞬间，对于激发学生学习的兴趣，解决学生认知中的疑惑，梳理知识脉络，注重方法间的关联，激发学生学习数学的与动力起到重要的作用． 知其然，更要知其所以然，坚持以学生为中心的课堂教学中，不仅仅是告知对还是错，更应探求为什么错，错哪儿？让学生在掌握基础知识、基本技能的同时学会学习，学会探求，培养数学的思维与应用能力，形成基本的数学素养．
“巧解”溯源可以验证方法的“真”“伪”. 去伪存真，培养学生的辩证思维，在反思中不断进步. 学生巧解是课堂生成，不是预设．
例1连结空间四边形ABCD的两条对角线，最多可以有（）直角三角形．
A． 一个B． 二个
C． 三个?摇?摇?摇?摇 D． 四个
学生巧解：学生到黑板画个图，注明长度关系（如图1），由图选D． 即AC=BD=5，AB=CD=4，BC=AD=3．
溯源与评析：学生甲构造一个非常特殊的“几何体”，△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均是全等的直角三角形，
即AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD，AD⊥AB．
把底面补成平行四边形如图2，AB⊥BC，BC//DE?圯AB⊥DE，又AD⊥AB?圯AB⊥面ADE． 同理，CD⊥面ADE?圯AB//CD． 与已知矛盾，故这样的空间四边形不存在．
图2
事实上，这样构造的空间四边形是一个矩形，为平面图形． 反思是形成思维的重要组成部分，通过反思提高思维的质量，提升思维的品质，使学生的学习更加成熟、有效．
“巧解”溯源是从“特殊”追溯到“一般”思维衔接，知其然，更要知其所以然．这是对学生良好直观判断的褒奖，是使其继续努力学习的源动力．
例2（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，+=6cosC，则+的值是__________?摇．
学生巧解：令b=a，cosC=，得tanC=2，tan=?圯tanA=tanB==?圯+=4．
教师分析，常见解法：+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2……①
6ab?=a2+b2?圯a2+b2=……②
+=?=?=?=?，
把①②依次代入，得：上式===4．
溯源与评析：从一般入手求解的过程复杂，运算量比较大，且费时． 为何“巧解”合理正确呢？关键在于本题中a，b符合轮换对称的特点，即符合条件②的三角形中蕴涵一种等腰三角形（a=b）的情形，把符合条件的图形特殊化处理找出其不变量，是处理填空题的一种上佳策略．
例3简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图3所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD． 设内层椭圆方程为+=1（a>b>0），则外层椭圆方程可设+=1（a>b>0，m>1）． 若AC与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为（）
A． B．
C． ?摇?摇?摇D．
图3
学生巧解：AB为内椭圆的切线，由对称性，此时有：
kBD?kAC=?－=－，－= －，易得e=，选A．
教师分析：设D（x1，y1），C（x2，y2），则经过点D的切线方程：+－1=0，经过点B，得y1=，又+=1，且x1<0，x1=－．
同理x2=，y2=，
可得kBD?kAC=－，即e=．
溯源与评析：巧解的合理性在哪里?事实上，内外椭圆是同离心率的两个椭圆，外层椭圆是随m（m>1）的变化而不断变化，必存在一个m0的值恰好使AB为内椭圆的切线． 由上解答可知，经过点D的切线为：－x+－1=0，又经过（－ma，0），可得m=．
“巧解”溯源是“特殊”追溯到“特殊”的思维衔接，也是发展创造性思维的重要方法，“怪异”的解法或许是“神来之笔”！
例4 （2008浙江卷8）若cosa+2sina= －，则tana等于（）
A．B． 2 C． － D． －2
学生巧解：把cosa+2sina=－两边求导得－sina+2cosa=0?圯tana=2，选B．
溯源与评析：求解的合理性在哪里？也就是求导的背景是什么？为什么可以求导呢？其实，cosa+2sina=m（m∈［－，］）两边不一定能求导；求导的几何含义是求切线的斜率，两边斜率均为0，原来仅限于m=±时等式求导成立． 因此，巧解是抓住m=－时的极端情形求解，自然能够求出答案． 看似不可思议，实质上是作为解答的最好方法！解答过程无懈可击，只是此方法不具一般性，仅适合特殊构造的题型．
“巧解”溯源是对非等价转化数学思维的合理解释，非等价转化更能培养严谨治学的态度，一丝不苟的精神．
例5
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．
注：为自然对数的底数．
学生巧解：（Ⅰ）解答a=e或a=3e. 过程略．
（Ⅱ）由题意，有
f（3e）=（3e－a）2ln（3e）≤4e2，f（e）=（e－a）2lne≤4e2，
解得3e－≤a≤3e．?摇
溯源与评析：因为当x∈（0，1］时，对a∈R不等式恒成立，
当x∈（1，3e］时，lnx>0，故可转化为：x－≤a≤x+对x∈（1，3e］恒成立，
则考察函数g（x）=x－（1因为g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3e）=3e－．
对函数h（x）进行求导，h′（x）=． 令h′（x）=0，得x=e． 当x∈（1，e）时，h′（x）<0，h（x）递减；当x∈（e，3e］时，h′（x）>0，h（x）递增，因此h（x）min=h（e）=3e． 因此，a的取值范围为3e－≤a≤3e．
可见，学生的巧就巧在两个赋值恰好在最大值及最小值上，直接找到答案的取值范围． 巧解是怎么想到的呢？第一小步的提示为第二步做好了铺垫，是产生巧解的功不可没的因素！对于恒成立问题的求解，赋值是常用的基本技能，仅是已知的必要条件，其充分性怎么体现，不是为求答案而给答案． “授之以鱼，不如授之以渔”，这种非等价转化有利于培养思维的广阔性、批判性，思考问题的周密性．
溯源本身就是创造性的思维过程，解题方法的溯源，有利于数学基础知识的深入理解，基本技能的形成，掌握方法运用的特点． 抓住课堂中学生灵感顿显，思路的直觉判断，可以激发学生数学学习的内驱力，调动学习的积极性，肯定学生良好的直观直觉，感受数学无限魅力，进而优化学生的知识结构，形成有效的知识提取与运用系统． 解题方法的溯源，有利于养成思维的批判性，拓展知识的深度与广度；有利于培养学生个体的广阔眼光，发展学生的创造性思维等．
关键词：巧解；溯源；分析
巧解与通性通法是相互对立统一的辩证关系，与通性通法对比而来． 在数学学习过程中，始终贯穿其中． 捕捉学生“思维火花”的瞬间，对于激发学生学习的兴趣，解决学生认知中的疑惑，梳理知识脉络，注重方法间的关联，激发学生学习数学的与动力起到重要的作用． 知其然，更要知其所以然，坚持以学生为中心的课堂教学中，不仅仅是告知对还是错，更应探求为什么错，错哪儿？让学生在掌握基础知识、基本技能的同时学会学习，学会探求，培养数学的思维与应用能力，形成基本的数学素养．
“巧解”溯源可以验证方法的“真”“伪”. 去伪存真，培养学生的辩证思维，在反思中不断进步. 学生巧解是课堂生成，不是预设．
例1连结空间四边形ABCD的两条对角线，最多可以有（）直角三角形．
A． 一个B． 二个
C． 三个?摇?摇?摇?摇 D． 四个
学生巧解：学生到黑板画个图，注明长度关系（如图1），由图选D． 即AC=BD=5，AB=CD=4，BC=AD=3．
溯源与评析：学生甲构造一个非常特殊的“几何体”，△ABC，△ABD，△BCD，△ACD均是全等的直角三角形，
即AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AD，AD⊥AB．
把底面补成平行四边形如图2，AB⊥BC，BC//DE?圯AB⊥DE，又AD⊥AB?圯AB⊥面ADE． 同理，CD⊥面ADE?圯AB//CD． 与已知矛盾，故这样的空间四边形不存在．
图2
事实上，这样构造的空间四边形是一个矩形，为平面图形． 反思是形成思维的重要组成部分，通过反思提高思维的质量，提升思维的品质，使学生的学习更加成熟、有效．
“巧解”溯源是从“特殊”追溯到“一般”思维衔接，知其然，更要知其所以然．这是对学生良好直观判断的褒奖，是使其继续努力学习的源动力．
例2（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，+=6cosC，则+的值是__________?摇．
学生巧解：令b=a，cosC=，得tanC=2，tan=?圯tanA=tanB==?圯+=4．
教师分析，常见解法：+=6cosC?圯6abcosC=a2+b2……①
6ab?=a2+b2?圯a2+b2=……②
+=?=?=?=?，
把①②依次代入，得：上式===4．
溯源与评析：从一般入手求解的过程复杂，运算量比较大，且费时． 为何“巧解”合理正确呢？关键在于本题中a，b符合轮换对称的特点，即符合条件②的三角形中蕴涵一种等腰三角形（a=b）的情形，把符合条件的图形特殊化处理找出其不变量，是处理填空题的一种上佳策略．
例3简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图3所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD． 设内层椭圆方程为+=1（a>b>0），则外层椭圆方程可设+=1（a>b>0，m>1）． 若AC与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为（）
A． B．
C． ?摇?摇?摇D．
图3
学生巧解：AB为内椭圆的切线，由对称性，此时有：
kBD?kAC=?－=－，－= －，易得e=，选A．
教师分析：设D（x1，y1），C（x2，y2），则经过点D的切线方程：+－1=0，经过点B，得y1=，又+=1，且x1<0，x1=－．
同理x2=，y2=，
可得kBD?kAC=－，即e=．
溯源与评析：巧解的合理性在哪里?事实上，内外椭圆是同离心率的两个椭圆，外层椭圆是随m（m>1）的变化而不断变化，必存在一个m0的值恰好使AB为内椭圆的切线． 由上解答可知，经过点D的切线为：－x+－1=0，又经过（－ma，0），可得m=．
“巧解”溯源是“特殊”追溯到“特殊”的思维衔接，也是发展创造性思维的重要方法，“怪异”的解法或许是“神来之笔”！
例4 （2008浙江卷8）若cosa+2sina= －，则tana等于（）
A．B． 2 C． － D． －2
学生巧解：把cosa+2sina=－两边求导得－sina+2cosa=0?圯tana=2，选B．
溯源与评析：求解的合理性在哪里？也就是求导的背景是什么？为什么可以求导呢？其实，cosa+2sina=m（m∈［－，］）两边不一定能求导；求导的几何含义是求切线的斜率，两边斜率均为0，原来仅限于m=±时等式求导成立． 因此，巧解是抓住m=－时的极端情形求解，自然能够求出答案． 看似不可思议，实质上是作为解答的最好方法！解答过程无懈可击，只是此方法不具一般性，仅适合特殊构造的题型．
“巧解”溯源是对非等价转化数学思维的合理解释，非等价转化更能培养严谨治学的态度，一丝不苟的精神．
例5
源于：毕业生论文www.udooo.com
（2011浙江卷22）设函数f（x）=（x－a）2lnx，a∈R.（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3e］，恒有f（x）≤4e2成立．
注：为自然对数的底数．
学生巧解：（Ⅰ）解答a=e或a=3e. 过程略．
（Ⅱ）由题意，有
f（3e）=（3e－a）2ln（3e）≤4e2，f（e）=（e－a）2lne≤4e2，
解得3e－≤a≤3e．?摇
溯源与评析：因为当x∈（0，1］时，对a∈R不等式恒成立，
当x∈（1，3e］时，lnx>0，故可转化为：x－≤a≤x+对x∈（1，3e］恒成立，
则考察函数g（x）=x－（1
对函数h（x）进行求导，h′（x）=． 令h′（x）=0，得x=e． 当x∈（1，e）时，h′（x）<0，h（x）递减；当x∈（e，3e］时，h′（x）>0，h（x）递增，因此h（x）min=h（e）=3e． 因此，a的取值范围为3e－≤a≤3e．
可见，学生的巧就巧在两个赋值恰好在最大值及最小值上，直接找到答案的取值范围． 巧解是怎么想到的呢？第一小步的提示为第二步做好了铺垫，是产生巧解的功不可没的因素！对于恒成立问题的求解，赋值是常用的基本技能，仅是已知的必要条件，其充分性怎么体现，不是为求答案而给答案． “授之以鱼，不如授之以渔”，这种非等价转化有利于培养思维的广阔性、批判性，思考问题的周密性．
溯源本身就是创造性的思维过程，解题方法的溯源，有利于数学基础知识的深入理解，基本技能的形成，掌握方法运用的特点． 抓住课堂中学生灵感顿显，思路的直觉判断，可以激发学生数学学习的内驱力，调动学习的积极性，肯定学生良好的直观直觉，感受数学无限魅力，进而优化学生的知识结构，形成有效的知识提取与运用系统． 解题方法的溯源，有利于养成思维的批判性，拓展知识的深度与广度；有利于培养学生个体的广阔眼光，发展学生的创造性思维等．