本站原创
分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，渗透到整个中学数学每个章节，一直是高考中的热点和重点，由于这类题目综合性强，逻辑性严，探索性开放，自然也是高考的难点.我们在重视分类讨论思想应用的基础上，也要注意克服动辄加以讨论的思维定势，要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规，避免不必要的分类讨论.下面举例说明简化和回避分类讨论的各种方法，供同学们复习参考.
1活用定义，另辟蹊径
定义是我们解决问题的出发点，回归定义，可以使问题变得简单，解题过程更自然.
例1 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：
证明： 由Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1，则
SnSn+2-=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）=-a1an+1
而，∴SnSn+2-=-a1an+1<0
即SnSn+2<，由对数函数的单调性，得
lg SnSn+2点评： 若用等比数列的求和公式Sn=来证明，需分q≠1及q=1来讨论.而用等比数列前n项和的定义Sn+1=a1+qSn可避免讨论.
例2 等比数列，若，试求公比q的值.
解：依题意可知，
由于
从而有
故，即有.
点评： 若用等比数列的求和公式Sn=来求解，需分q≠1及q=1来讨论.而直接运用等比数列前n项和的定义可避免讨论.
例3已知定义在[-2，2]偶函数f（x）在区间[0，2]是单调递减，且f（1-m）解：由f（x）是偶函数及条件f（1-m）f（|1-m|）又f（x）在[0，2]是单调递减，
∴ ，解得-1≤m<.
∴ m的取值范围是[-1，）.
点评：由于1-m，m在 [-2，0]，[-0，2]的哪一个区间不定，故要分类讨论.若巧用"f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）=f（|x|）"这一性质，即可避免分类讨论.
例4（2006年江西卷）若不等式x2+ax+1？0对于一切x？成立，则a的取值范围是（
A.0 B. -2 C.- D.-3
解：根据已知条件有，则的最大值是
点评：在给定的条件下，参数能够成功地完全分离出来，然后转化为求函数的最值问题，这样就避免了关于二次函数的讨论.
例5 已知集合，，若，求的范围.
解：由，解得
令，如图，不论的，由.
点评： 按照不等式知识须分分类讨论求出集合，而用数形结合来解就不必讨论.
例6 如果二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求的取值范围.
解：不妨从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧时的取值范围，则由一元二次方程有两负根得：
≥9，
取其补集得，<9，且必须满足△≥0与≠0，故二次函数图像与轴的交点至少有一个在原点右侧的范围为≤1且≠0.
点评：若从正面求解，必须要对"两交点均在原点右侧"，"一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧"等情况进行分类讨论；而从反面考虑，可以避免复杂的讨论.
例7求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是4x+3y=0，且经过点A（-3，2）的双曲线的标准方程.
解：依题意可设所求的双曲线方程为=（≠0），将A（-3，2）代入上述方程，得=，故所求的方程是.
点评：由于未明确给出焦点的位置，若设出两个双曲线方程，再用待定系数法来解较繁.而巧设双曲线系方程，则可避免讨论.
1活用定义，另辟蹊径
定义是我们解决问题的出发点，回归定义，可以使问题变得简单，解题过程更自然.
例1 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：
证明： 由Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1，则
SnSn+2-=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）=-a1an+1
而，∴SnSn+2-=-a1an+1<0
即SnSn+2<，由对数函数的单调性，得
lg SnSn+2
例2 等比数列，若，试求公比q的值.
解：依题意可知，
由于
从而有
故，即有.
点评： 若用等比数列的求和公式Sn=来求解，需分q≠1及q=1来讨论.而直接运用等比数列前n项和的定义可避免讨论.
2 巧用性质，避繁就简
灵活地使用一些函数的性质，可以避免一些不必要的讨论，使解题过程更简捷.例3已知定义在[-2，2]偶函数f（x）在区间[0，2]是单调递减，且f（1-m）
∴ ，解得-1≤m<.
∴ m的取值范围是[-1，）.
点评：由于1-m，m在 [-2，0]，[-0，2]的哪一个区间不定，故要分类讨论.若巧用"f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）=f（|x|）"这一性质，即可避免分类讨论.
3 分离参数，反客为主
在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论.例4（2006年江西卷）若不等式x2+ax+1？0对于一切x？成立，则a的取值范围是（
源于：论文致谢范文www.udooo.com
）A.0 B. -2 C.- D.-3
解：根据已知条件有，则的最大值是
点评：在给定的条件下，参数能够成功地完全分离出来，然后转化为求函数的最值问题，这样就避免了关于二次函数的讨论.
4 数形结合，巧思妙解
利用函数图像、几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的结合起来，有时也可以回避问题的讨论.例5 已知集合，，若，求的范围.
解：由，解得
令，如图，不论的，由.
点评： 按照不等式知识须分分类讨论求出集合，而用数形结合来解就不必讨论.
5 巧用补集，不正则反
有些问题，分类讨论比较麻烦，若用补集法去考虑问题的对立面，即从结论的反面去思考和探索，得出反面结论，结合集合性质，可以将题目化难为易，化繁为简，开拓解题思路.例6 如果二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求的取值范围.
解：不妨从反面考虑问题，即先考虑两个交点都在原点左侧时的取值范围，则由一元二次方程有两负根得：
≥9，
取其补集得，<9，且必须满足△≥0与≠0，故二次函数图像与轴的交点至少有一个在原点右侧的范围为≤1且≠0.
点评：若从正面求解，必须要对"两交点均在原点右侧"，"一个交点在原点右侧另一个交点在原点左侧"等情况进行分类讨论；而从反面考虑，可以避免复杂的讨论.
6 巧设方程，直达目的
在求解曲线方程时，巧妙的引入参数来检测设方程，可以减少计算量，避免讨论.例7求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是4x+3y=0，且经过点A（-3，2）的双曲线的标准方程.
解：依题意可设所求的双曲线方程为=（≠0），将A（-3，2）代入上述方程，得=，故所求的方程是.
点评：由于未明确给出焦点的位置，若设出两个双曲线方程，再用待定系数法来解较繁.而巧设双曲线系方程，则可避免讨论.