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摘要：极限思想方法是全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是高等数学与初等数学的本质区别之处。高等数学之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
关键词：极限思想；发展；符号表达
极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，怎么写作于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。
极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：
16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。
阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量△S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。
也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教怎么写作，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。
阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。
19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。
19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。
极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。
参考文献
白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40
李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
[3]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319
[4]吴振英、陈湛本：《论极限的思想方法》[J]；《广州大学学报》2003（10）：410-412
[5]沈长华：《微积分概念的发展及其哲学解析》[D]；《兰州大学硕士学位论文》2007：10-15
关键词：极限思想；发展；符号表达
极限是高等数学中起着基础作用的概念，在某程度上可以说高等数学的整个体系都建立在这一概念的基础之上. 而极限思想则是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想作为一种数学思想，从其远古的思想萌芽，发展到现在完整的极限理论，其发展道路上布满了历代数学家们的严谨务实、孜孜以求的奋斗足迹。也是数千年来人类认识世界和改造世界的过程中的一个侧面反应，亦是人类追求真理、追求理想、创新求实的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。
极限思想是微积分学的基本思想，数学中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都需要借助于极限来加以定义。 微积分则是现代数学的基础，要学好微积分，就应该了解极限思想，学会用极限思想来理解这些概念，进而把微积分学知识应用于日常生活和生产实践中，体会数学源于生产实践，怎么写作于生产实践的事实。但是，极限思想较为晦涩，一向被视为是一难于理解的数学概念，若在教学中，加入一些涉及极限思想的故事及发展历程，则会有利于学生了解极限思想与微积分学之间的关系，从而加深对其概念的理解。
极限思想的发展，总数起来可认为有三个阶段：
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阶段一，小荷才露尖尖角，朴素极限思想的出现。与所有的科学思想方法相同，极限思想同样是社会生产实践的产物。追溯到古代，战国时庄子与其弟子所著的《庄子》一书中的《庄子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 即：若取一根一尺长的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永远也不能取尽。此说法认为物质是可以无限分割的，其中蕴含了朴实的极限思想，具有很高的学术价值，但却偏重于哲学的角度，与数学的联系还没有建立。而三世纪的刘徽的 “割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，公元五世纪祖冲之计算圆周率的方法、公元前五世纪希腊学者德漠克利特为解决不可公度问题创立的“原子论”、公元前三世纪古希腊诡辩学家安提丰在求圆面积过程中提出的“穷竭法”等等问题中，在蕴含了最原始的朴素的极限思想的同时，开始从数学角度思考问题。16世纪时，荷兰的数学家斯泰文在三角形重心的研究中，改进了由欧道克斯提出的“穷竭法”，借助几何图形的直观性，利用极限思想考虑问题，并在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”，但却没有脱离当时的社会实际。
阶段二，极限思想在数学上的正式提出，改善和发展阶段。极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密相联。16世纪的欧洲，资本主义正处于萌芽时期，生产力得到极大的发展。随着生产力的发展，生产和技术中出现了大量的问题，只用初等数学的方法根本无法解决，例如描述和研究变速直线的过程、曲边梯形的面积等等。这些问题的解决需要数学突破只研究常量的传统范围，这些是促进极限发展、建立微积分的社会背景。
当牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分时，遇到了逻辑困难。牛顿在描述作变速运动的物体在某一时刻t时的瞬时速率时，用路程的改变量△S与时间的改变量Δt的比值ΔS/Δt表示运动物体的平均速度，当Δt无限趋近于零，该比值无限趋近于一与Δt无关的常数，该常数即物体在时刻t时的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学的基本理论。在叙述瞬时速率时，他已意识到了极限概念的重要性，也想以极限概念作为微积分的基础，初步提出了极限的直观性定义：“如果当n 无限增大时，如果an无限接近于常数A，那么就说an以A为极限。”但牛顿给出的极限观念与荷兰斯泰文同样也是建立在几何直观上的，这种直观的定性解释并没有给出极限的严格表述，也没有解决当时的数学危机，因此在此基础上，同时代及后起许多数学家对极限的概念进行了完善。
也是因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才会在那个时代受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果说是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，却又不能把包含着Δt的项去掉。这就是数学史上所说的无穷小悖论。在攻击微积分学的大家中，英国哲学家、大主教贝克莱的攻击最为激烈，他认为微积分的推导是“分明的诡辩”。
贝克莱激烈攻击微积分的原因有两个，首先他要为宗教怎么写作，其次也是因为当时的微积分缺乏牢固的理论基础，即使牛顿自己也无法清楚地解释极限概念中的混乱。事实证明，严格极限的概念，建立严格的微积分理论基础，既是数学本身发展的需求，也有认识论上的重大意义。
阶段三，极限概念的定量化和数学符号表达阶段。这阶段主要指由柯西精确定义，维尔斯特拉斯用符号精确表达极限的阶段。
19世纪，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。尽管这个定义是建筑在前人工作的基础上，但还是相对完整地阐述了极限概念及其理论。但是这个定义仍然欠粗糙，说用语句中的“无限接近”、“要多小就有多小”等都只能给人一种模糊的直觉，并没有彻底摆脱残存在头脑中的几何直观印象。
19世纪后半叶，德国的维尔特拉斯则提出了关于极限的纯算数定义，并给出了沿用至今所用的极限的符号。
极限的定义经过几代人的不断完善、严格，最终解决了微积分理论发展期所面临的强大逻辑质疑，给微积分学提供了严格的理论基础。也正是如此，数学由常量数学正式进入变量数学的时代，极限的数学定义，沿用至今，成了微积分发展的重要里程碑。
极限思想在现代数学和物理学、天文学、化学甚至经济学、建筑学等学科中都有着广泛的应用，这也是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。极限又是微积分的基本概念，是微积分学的直接基础，也是微积分学区别于常量数学的重要工具，二者是相辅相成、密不可分的。极限思想扩展了数学能够分析研究的范围，促进了微积分的发展和完善，而微积分学在各个学科中的应用也是源于极限思想这个坚实理论基础。
参考文献
白淑珍：《对极限思想的辨证理解》[J]；《中国校外教育》2008（02）：39-40
李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社，2000：255
[3]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999：319
[4]吴振英、陈湛本：《论极限的思想方法》[J]；《广州大学学报》2003（10）：410-412
[5]沈长华：《微积分概念的发展及其哲学解析》[D]；《兰州大学硕士学位论文》2007：10-15