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内容摘要：众所周知金融市场存在着不可预测性，这是由于未来不可预知的宏观因素会影响股价或期货的走势。这些不可预知的宏观经济因素每时每刻都会影响金融市场上高频时间序列的走势。其中最著名的例子就是2008到2009年的金融危机，一些大型的金融投资银行相继倒闭，直接影响到了当年股市的行情。这是因为一旦建立的模型与真实数据之间存在较大的偏差，对的预测也会存在很大的失误，最终会导致投资者蒙受巨大的损失甚至血本无归。本文的目的就在于对国外伦敦金融市场FTSE100历史数据进行高频时间序列的特征分析，并在其历史数据的基础上建立相应的ARIMA模型，根据此模型进行样本外预测。除此之外，还会对沪深300指数的波动性进行深入的研究，建立相对应的ARIMA-GARCH 模型。 运用ARIMA-GARCH模型对股票的波动性进行预测。
关键词：ARIMA模型 高频时间序列 ARIMA-GARCH 模型 股票的波动性
时间序列的性质分析
本文中时间序列研究数据FTSE100指数是伦敦证券交易所上市的100家企业股票的综合指数。本文截取的时间段从1978年3月到2011年1月。在1987年10月以及2008年的8月，该时间序列出现了较大的波动。很明显这种较大的波动主要是源于1987年历史上著名的黑色星期一事件和2008年的全球金融危机。在1987年10月19日，英国股市在纽约道琼斯工业平均指数的带头暴跌下全面下泻，引发了随之而来的经济衰退。而在2008年，由于美国金融市场上的次贷危机，造成了全球股市低迷的连锁反应。加之时间序列具有波动群聚性特征。也就是说在某一个时间点上，如果存在一个较大的波动，那么随后的时间段内都会存在波动较大的情况。
ARIMA模型的识别
ARIMA模型又称为自回归移动平均模型，该模型是由 Box 和Jenkins于1970年正式提出。Box 和Jenkins提出检测设，随机游走的时间序列经过差分处理后变为平稳的时间序列，其随机特性也变成与时间不相关。这可以从其自相关系数中看出，对于随机游走的时间序列，其自相关系数与时间变量相关；而对于平稳的时间序列，其自相关系数与时间变量无关。对于平稳的时间序列，我们还可以通过观察其自相关系数和偏自相关系数，来对时间序列的模型进行初步判定（见表1）。
在金融市场中大多数时间序列是非平稳的，为了判定一个时间序列是否具有平稳性特征，我们在此引用了单位根检验方法。单位根检验的原检测设为时间序列具有单位根，是非平稳的；相对应的替代检测设是该时间序列是平稳的，单位根为零。在实际情况中，时间序列都显示出趋势性，因此一般为非平稳的时间序列。
时间序列数据通过了单位根检验之后，需要判定ARIMA（p，I ，q） 的阶数。 在此，我们要首先介绍一下基本的ARMA模型。ARMA 模型又被称作自回归移动平均模型，它是自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的结合。
（1）
从公式（1） 中我们可以看出，在t 时间段上时间序列的数值Yt，不仅受到了以往历史数据如Yt-1，Yt-2的影响，还受到了历史数据中不可预测信息的影响。这些不可预测的信息可以用εt 来表示。 我们检测设这些不
本文认为找到一个合适的ARIMA模型基本需要以下三个步骤，第一步是根据时间序列的自相关和偏自相关性来初步判定时间序列中p 和q的阶数；第二步是通过极大似然估计法对初步设定的模型进行系数估计；第三步是模型进行诊断性检验，判断模型是否能贴近于真实的时间序列数据。
在模型的选择上单纯通过自相关和偏自相关图像来判定往往有失偏颇，这是因为真实的时间序列特征往往不能够在自相关和偏自相关的图像中表示出来。因此我们可以通过信息准则AIC 和BIC 来克服这些缺陷。
AIC（p，q）=-2lnL+2k （2）
BIC（p，q）=-2lnL+klnT （3）
公式（2）和（3）包含了残差平方和以及参数自由度信息。lnL代表极大似然估计信息，一般情况下，应选择AIC 或者BIC 值最小的那个模型。
在选择了合适的模型进行系数估计以后，就需要对其进行诊断性检验，在此我们采用Box-Jenkins方法来进行诊断性检验。该检验的目的是在观测ARIMA模型的残差特征，残差之间是否是随机的，不具有相关性并且符合正态分布。
（4）
在公式（4）中，ρk代表第k阶滞后项的残差自相关系数，m代表卡方分布的自由度。该检测的原检测设性检验为1= 2 = 3=…… m=0，表明了ARIMA模型的残差之间不具有相关性，属于白噪声分布。这间接说明了该模型拟合度优良，残差中并不包含未解释变量。通过计算与该Q检验相关联的p值，可以得出结论。 如果p值小于0.01，则原检测设不成立，该模型中残差值之间具有相关性，模型不具有拟合优良特征。
时间序列的波动性特征
通常，在真实的金融市场中，大部分时间序列数据并不具有稳定的均值和方差，并且在某些特定的时间段表现出非常强的方差波动性。因此，本文认为传统的线性方程并不能够很好的描述时间序列的异方差性。
时间序列的异方差性有以下三个特征：尖峰态，波动积聚性以及杠杆效应。尖峰态性可以从时间序列数据的分布情况中表现出来，与标准正态分布相比较具有尖峰厚尾的特征。其波动性经常会积聚出现，如果前一期数据出现较大的波动状况，近期也会有较大的波动性。杠杆效应则可以理解为，如果时间序列在前一期上升到很高的水平，那么下一期则会下降。考虑到以上几个因素，我们会采用非线性的GARCH 方程来解释时间序列RFTSE100 和 RSP500的波动性特征。在介绍GARCH 模型之前，首先我们先介绍一下ARCH 模型。为了建立非线性模型来体现时间序列的波动性动态特征，Engle（1982）提出了ARCH 模型：
（5）
方程（5）表示典型的ARCH（1）模型，y表示在t时间的可以由解释变量x和误差项εt 来解释。该误差项可以理解为对未来t时间的所能产生的影响的利好信息或者不利信息。ht则可以理解为条件性方差，该方差可以由过去的误差平方项来解释。
在建立相对应的ARCH 或GARCH 模型之前，有必要检测该时间序列是否具有ARCH 效应。我们采用ARCH Lagrange multiplier（LM）检测法，对误差平方项建立自回归方程：
（6）
方程（6）中vt表示为误差项。在检验中，原检测设为所有的βi（i=1，2，..q） 均为零。也就是说，误差平方项之间不具有相关性，原时间序列不具有较强的波动性。 该线性方程的R2乘以（T-q）符合自由度为q的卡方分布。与自由度为q的卡方分布相比，如果（T-q）R2足够大，我们就可以拒绝原检测设，这样该时间序列则具有较强的波动性。
由于模型的非线性特征，我们采用最大似然估计法来估计GARCH-ARIMA模型的系数，如表2所示。为了选取拟合度最好的GARCH或者ARCH模型，我们可以通过AIC 和BIC 准则来选取合适的模型。
表2显示的是RFTSE100时间序列的GARCH，ARCH 模型估计信息，AIC 指标选择ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）模型， 而BIC指标则选择ARIMA（2，0，2）-ARCH（1，3）为拟合度最优的模型。
模型1：ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）
（7）
（8）
模型2：ARIMA（2，0，2）-ARCH（1，3）
（9）
（10）
模型1中，方程（7）和（8）中的P值表明方程的系数显著区别于零。而在模型2中，方程（10）的p值表明的系数并不明显区别于零值。由此我们选择模型1 ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）为RFTSE100时间序列波动性拟合度最优的方程。
表3中的数据表明，根据AIC 指标，MA（1）-GARCH（4，4）模型能够更好的描述时间序列RSP500的波动情况。而根据BIC 指标MA（1）-GARCH（3，1）则能够更好的描述原数据的波动情况。在这种情况下，让我们比较一下两种模型的系数显著程度。
模型3：MA（1）-GARCH（3，1） ：
（11）
（12）
模型4：MA（1）-GARCH（4，4） ：
（13）
（14）
方程（12）和（14）中的P值表明，模型3中的估计系数显著不为零。而且，表3中的R
基于以上分析可以得出，尽管市场上不可预知的因素很多，对于股票的预测仍然是可行的。这是由于股票的时间序列具有长记忆性，以往若干年前的历史信息往往对当前的走势仍具有影响。因此对于股票投资者而言，建立精准的股票模型，并在此基础上进行预测才是盈利的关键。
参考文献：
1.Brooks， Chris 2002. Introductory Econometrics For Finance . Cambridge University Press
2.Bernd Rosenow （2008）. 'Determining the optimal dimensionality of multivariate volatility models with tools from random matrix theory' The Journal of economic dynamics & control， Vol. 32， Issue 1， pp 279-302
3.C Brooks， S Burke and G Persand （2003）. 'Multivariate GARCH Models： Software Choice and Estimation Issues' The Journal of applied econometrics， Vol. 18， Issue 6， pp 725-734
关键词：ARIMA模型 高频时间序列 ARIMA-GARCH 模型 股票的波动性
时间序列的性质分析
本文中时间序列研究数据FTSE100指数是伦敦证券交易所上市的100家企业股票的综合指数。本文截取的时间段从1978年3月到2011年1月。在1987年10月以及2008年的8月，该时间序列出现了较大的波动。很明显这种较大的波动主要是源于1987年历史上著名的黑色星期一事件和2008年的全球金融危机。在1987年10月19日，英国股市在纽约道琼斯工业平均指数的带头暴跌下全面下泻，引发了随之而来的经济衰退。而在2008年，由于美国金融市场上的次贷危机，造成了全球股市低迷的连锁反应。加之时间序列具有波动群聚性特征。也就是说在某一个时间点上，如果存在一个较大的波动，那么随后的时间段内都会存在波动较大的情况。
ARIMA模型的识别
ARIMA模型又称为自回归移动平均模型，该模型是由 Box 和Jenkins于1970年正式提出。Box 和Jenkins提出检测设，随机游走的时间序列经过差分处理后变为平稳的时间序列，其随机特性也变成与时间不相关。这可以从其自相关系数中看出，对于随机游走的时间序列，其自相关系数与时间变量相关；而对于平稳的时间序列，其自相关系数与时间变量无关。对于平稳的时间序列，我们还可以通过观察其自相关系数和偏自相关系数，来对时间序列的模型进行初步判定（见表1）。
在金融市场中大多数时间序列是非平稳的，为了判定一个时间序列是否具有平稳性特征，我们在此引用了单位根检验方法。单位根检验的原检测设为时间序列具有单位根，是非平稳的；相对应的替代检测设是该时间序列是平稳的，单位根为零。在实际情况中，时间序列都显示出趋势性，因此一般为非平稳的时间序列。
时间序列数据通过了单位根检验之后，需要判定ARIMA（p，I ，q） 的阶数。 在此，我们要首先介绍一下基本的ARMA模型。ARMA 模型又被称作自回归移动平均模型，它是自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的结合。
（1）
从公式（1） 中我们可以看出，在t 时间段上时间序列的数值Yt，不仅受到了以往历史数据如Yt-1，Yt-2的影响，还受到了历史数据中不可预测信息的影响。这些不可预测的信息可以用εt 来表示。 我们检测设这些不
摘自：本科毕业论文www.udooo.com
可预测的信息εt 是服从均值为零，方差为定值的正态分布，ε～ N（0，σ2）在方程（1）中，p和q分别代表着自回归和移动平均的阶数，也可以说是需要在模型中具体设定历史数据和历史误差的个数，使得模型更加能贴近于真实的时间序列数据。本文认为找到一个合适的ARIMA模型基本需要以下三个步骤，第一步是根据时间序列的自相关和偏自相关性来初步判定时间序列中p 和q的阶数；第二步是通过极大似然估计法对初步设定的模型进行系数估计；第三步是模型进行诊断性检验，判断模型是否能贴近于真实的时间序列数据。
在模型的选择上单纯通过自相关和偏自相关图像来判定往往有失偏颇，这是因为真实的时间序列特征往往不能够在自相关和偏自相关的图像中表示出来。因此我们可以通过信息准则AIC 和BIC 来克服这些缺陷。
AIC（p，q）=-2lnL+2k （2）
BIC（p，q）=-2lnL+klnT （3）
公式（2）和（3）包含了残差平方和以及参数自由度信息。lnL代表极大似然估计信息，一般情况下，应选择AIC 或者BIC 值最小的那个模型。
在选择了合适的模型进行系数估计以后，就需要对其进行诊断性检验，在此我们采用Box-Jenkins方法来进行诊断性检验。该检验的目的是在观测ARIMA模型的残差特征，残差之间是否是随机的，不具有相关性并且符合正态分布。
（4）
在公式（4）中，ρk代表第k阶滞后项的残差自相关系数，m代表卡方分布的自由度。该检测的原检测设性检验为1= 2 = 3=…… m=0，表明了ARIMA模型的残差之间不具有相关性，属于白噪声分布。这间接说明了该模型拟合度优良，残差中并不包含未解释变量。通过计算与该Q检验相关联的p值，可以得出结论。 如果p值小于0.01，则原检测设不成立，该模型中残差值之间具有相关性，模型不具有拟合优良特征。
时间序列的波动性特征
通常，在真实的金融市场中，大部分时间序列数据并不具有稳定的均值和方差，并且在某些特定的时间段表现出非常强的方差波动性。因此，本文认为传统的线性方程并不能够很好的描述时间序列的异方差性。
时间序列的异方差性有以下三个特征：尖峰态，波动积聚性以及杠杆效应。尖峰态性可以从时间序列数据的分布情况中表现出来，与标准正态分布相比较具有尖峰厚尾的特征。其波动性经常会积聚出现，如果前一期数据出现较大的波动状况，近期也会有较大的波动性。杠杆效应则可以理解为，如果时间序列在前一期上升到很高的水平，那么下一期则会下降。考虑到以上几个因素，我们会采用非线性的GARCH 方程来解释时间序列RFTSE100 和 RSP500的波动性特征。在介绍GARCH 模型之前，首先我们先介绍一下ARCH 模型。为了建立非线性模型来体现时间序列的波动性动态特征，Engle（1982）提出了ARCH 模型：
（5）
方程（5）表示典型的ARCH（1）模型，y表示在t时间的可以由解释变量x和误差项εt 来解释。该误差项可以理解为对未来t时间的所能产生的影响的利好信息或者不利信息。ht则可以理解为条件性方差，该方差可以由过去的误差平方项来解释。
在建立相对应的ARCH 或GARCH 模型之前，有必要检测该时间序列是否具有ARCH 效应。我们采用ARCH Lagrange multiplier（LM）检测法，对误差平方项建立自回归方程：
（6）
方程（6）中vt表示为误差项。在检验中，原检测设为所有的βi（i=1，2，..q） 均为零。也就是说，误差平方项之间不具有相关性，原时间序列不具有较强的波动性。 该线性方程的R2乘以（T-q）符合自由度为q的卡方分布。与自由度为q的卡方分布相比，如果（T-q）R2足够大，我们就可以拒绝原检测设，这样该时间序列则具有较强的波动性。
由于模型的非线性特征，我们采用最大似然估计法来估计GARCH-ARIMA模型的系数，如表2所示。为了选取拟合度最好的GARCH或者ARCH模型，我们可以通过AIC 和BIC 准则来选取合适的模型。
表2显示的是RFTSE100时间序列的GARCH，ARCH 模型估计信息，AIC 指标选择ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）模型， 而BIC指标则选择ARIMA（2，0，2）-ARCH（1，3）为拟合度最优的模型。
模型1：ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）
（7）
（8）
模型2：ARIMA（2，0，2）-ARCH（1，3）
（9）
（10）
模型1中，方程（7）和（8）中的P值表明方程的系数显著区别于零。而在模型2中，方程（10）的p值表明的系数并不明显区别于零值。由此我们选择模型1 ARIMA（2，0，2）-GARCH（1，1）为RFTSE100时间序列波动性拟合度最优的方程。
表3中的数据表明，根据AIC 指标，MA（1）-GARCH（4，4）模型能够更好的描述时间序列RSP500的波动情况。而根据BIC 指标MA（1）-GARCH（3，1）则能够更好的描述原数据的波动情况。在这种情况下，让我们比较一下两种模型的系数显著程度。
模型3：MA（1）-GARCH（3，1） ：
（11）
（12）
模型4：MA（1）-GARCH（4，4） ：
（13）
（14）
方程（12）和（14）中的P值表明，模型3中的估计系数显著不为零。而且，表3中的R
源于：论文致谢范文www.udooo.com
2数据也明显比模型4的数值要大，这都说明了模型3 的波动拟合度更为优良。基于以上分析可以得出，尽管市场上不可预知的因素很多，对于股票的预测仍然是可行的。这是由于股票的时间序列具有长记忆性，以往若干年前的历史信息往往对当前的走势仍具有影响。因此对于股票投资者而言，建立精准的股票模型，并在此基础上进行预测才是盈利的关键。
参考文献：
1.Brooks， Chris 2002. Introductory Econometrics For Finance . Cambridge University Press
2.Bernd Rosenow （2008）. 'Determining the optimal dimensionality of multivariate volatility models with tools from random matrix theory' The Journal of economic dynamics & control， Vol. 32， Issue 1， pp 279-302
3.C Brooks， S Burke and G Persand （2003）. 'Multivariate GARCH Models： Software Choice and Estimation Issues' The Journal of applied econometrics， Vol. 18， Issue 6， pp 725-734