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摘要：在日常教学中，经常出现这样的现象：课堂上，教师认真地为学生讲解课前精心准备的习题，期间不乏师生互动、思维方法点拨以及数学思想的提升，但最后的效果却不尽如人意：学生一旦遇到陌生或灵活性大的习题往往还是束手无策！究其原因，不得不承认缺乏必要的知识、方法、思想方面的迁移能力是其中一个重要方面． 而有效的联想是培养迁移能力的一种重要手段． 本文从四个方面总结了笔者在日常教学实践中所采用的联想策略，效果良好．
关键词：解题教学；概念；模型；经验；联想；有效性
面对难题，冥思苦想了好一阵后，有时忽然会灵感乍现，茅塞顿开． 灵感来自于哪里？灵感来自于联想，所谓联想，是指由一事物想到另一事物的心理过程，它是从已经掌握的途径、原则、方法等方面去寻求接近当前问题解决的途径、原则和方法，联想是数学发现和数学解题的一种常用方法． 著名美国数学家波利亚在《怎样解题》一书中，明确提出联想是解题计划的重要一环． 如何让学生学会联想是数学解题教学成功的关键，本文是笔者在日常教学实践中采用的若干联想策略，现提出供大家教学参考！
寻找“题眼”，从概念上联想．
在平时学习中，概念是最重要的基础知识，是思维的细胞，教师强调得多，学生印象深刻． 遇到相关问题时，若能引导学生发现题设中某些与概念相同或相关的字眼，进而联想出蕴涵在概念中的方法，便可迅速打开解题的突破口．
例1（2011 重庆卷 理20题）
如图1，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值． 若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（第Ⅰ问略）
题设中有关键字“两个定点”、“PF1+PF2为定值”，由此联想出动点P的轨迹可能是一个椭圆．
解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
由=+2得x=x1+2x2，y=y1+2y2.
图1
因为M，N都在椭圆x2+2y2=4上，所以x+2y=4，x+2y=4，
故x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2
=（x+2y）+4（x+2y）+4（x1x2+2y1y2）．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设可得
kOM?kON==－，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20，即动点P在椭圆+=1上运动．
设椭圆两个焦点为F1，F2，则F1（－，0），F2（，0），
由椭圆定义知PF1+PF2为定值，故定点F1，F2存在．
注：本题中若将重点放在寻找定点上，势必会步入误区，而联想椭圆定义，不仅可以找到解题入口，定点也能自然地引出．
观察结构，从模型上联想．
高中数学各模块中存在大量的公式、法则、定理、图形等，它们有着特殊的结构和形式，是数学中重要的模型．我们在分析思考问题过程中一旦发现有与这些模型相同或相似的地方，便可通过联想这些模型以及模型中渗透的结构、形式、特征、方法来尝试解决，并且常常能“化腐朽为神奇”，使解题柳暗花明．
在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn（n≥1）．
（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝通项公式；
（Ⅱ）设bn=tanan?tanan+1，求数列｛bｎ｝的前n项和Sn．
分析?摇 （第（Ⅰ）问题略，an=n+2）
题设中出现tanan?tanan+1结构，容易联想到三角公式：
tan（α±β）=，再变形得
tanαtanβ=1－以及tanαtanβ=－1．
考虑到本题目的是求和，使用前者达不到目的（分母中的角都不同不便求和），因而可以尝试后者．
解?摇 由tanαtanβ=－1得b=tan（n+3）tan（n+2）=－1=－1，进而Sn=b1+b2+b3+…+bn=－n．
注：笔者的同事参加了2011年安徽卷阅卷工作，批阅的正是此题，此题学生丢分非常严重，笔者认为最主要原因就是解题中没有进行适当的联想．
例3 已知四面体ABCD三组对棱分别相等，且AB=a，AC=b，AD=c，求它的体积．
分析 本题中所给条件难以直接与体积发生联系，因而需要转换视角解决，由三组对棱分别相等，容易联想到长方体模型（长方体中前后、左右、上下面对角钱分别相等）．
解?摇 如图2，构造长方体模型
图2
设长方体长、宽、高为x，y，z，
则有x2+y2=b2，y2+z2=c2，z2+x2=a2，
解得x2=，y2=，z2=， 所以x2y2z2=，
从而VA-BCD=V长方体-4VB-ACE=xyz－4××xy×z=xyz=．
注：中学数学模型很多，除以上之外，还有解几、向量、代数模型等．
激活模式，从方法上联想．
模式就是日常数学学习中所习得和积累的各种方法、思想及策略在头脑中的一种固化，一旦在解题中遇到条件类似或题型类似的问题时，通过联想，这种固化模式就会被激活，从而启迪我们用与这种模式类似的方法、思想、策略去解决问题．
例4?摇已知函数f（x）=，求f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012）的值．
分析?摇 本题是求一些函数值的和，由于函数值太多，所以逐一计算是不现实的，只能考虑整体求和，这样容易联想到课本中整体求和的两大方法：倒序相加及错位相减，由于错位相减只适合形如｛aｎ?bｎ｝（其中｛aｎ｝为等差数列，｛bｎ｝为等比数列）数列求和情形，从而倒序相加就值得一试了．解?摇 倒序相加的前提是倒序后对应项之和都相等，由此可以猜想
?摇?摇f（－2011）+f（2012）=f（－2010）+f（2011）=…=定值，
又因为－2011+2012=－2010+2011=…=1，
故我们可以从一般情形着手：f（x）+f（1－x）=定值．
事实上， f（x）+f（1－x）=+=+
==.
令S=f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012），
倒过来，S=f（2012）+f（2011）+…+f（1）+…+f（－2011），
相加得：2S=++…++…+（共4024个）
=2012，
所以S=1006．
化难为易，从经验上联想．
所谓数学经验，就是某些知识，某些解题方法以及某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也为我们从反面提供有效的有序组合，因此，在平时教学中让学生多积累多体会解题经验，能为陌生或困难问题的解决提供经验支持．
例5 求证：－+－…+（－1）n-1?=1+++…+（n∈N*）．
分析?摇 此题是笔者给所在学校数学兴趣班学生提供的一道训练题，主要目的是训练数学归纳法中从n=k到n=k+1的递推能力，结果全班学生竟无人证出，其实，从n=k情形如何过渡到n=k+1情形完全可从形n=3到n=4中获得经验：
n=3时，等式为－+=1++，
n=4时，左边=－+－，
=-++-+-．
再往下进行，要想证出，必须让，，变为分母为4的形式，事实上，
=，=，=.
所以左边=1+++－+－
=1+++［C-（C-C+C-C+C）］
=1+++［C-（1-1）4］
=1+++
=右边.
证?摇 ?摇（1）n=1时，等式显然成立．
（2）检测设n=k（k∈N*） 时命题成立，即
－+－…+（－1）k-1=1+++…+.
当n=k+1时，有
－+－…+（－1）k-1+（－1）k
=－+－…+（－1）k-1?+（－1）k?摇?摇?摇?摇?摇
=－+-…+（－1）k-1+-+-…+（-1）k-1+（-1）k?摇
=1+++…++－+－…+（－1）k-1+（－1）k
=1+++…++｛C-［C-C+C-C+…+（-1）kC+（-1）k+1C］｝
=1+++…++［C-（1-1）k+1］
=1+++…++，
故当n=k+1时，等式成立！
由以上（1）（2）知等式对一切n∈N*均成立！
通过以上四个方面联想策略的使用不难看出，联想是寻找解题途径的重要思维方式，联想帮助我们化陌生题为熟悉题，化复杂题为简单题，从而提高解题能力． 因此，教师在日常教学过程中一定要善于引导学生进行联想，只有这样才能切实提高学生联想的有效性，真正实现知识的互联、方法的迁移、思维的发散、经验的提升，真正提高他们分析问题和解决问题的能力．
关键词：解题教学；概念；模型；经验；联想；有效性
面对难题，冥思苦想了好一阵后，有时忽然会灵感乍现，茅塞顿开． 灵感来自于哪里？灵感来自于联想，所谓联想，是指由一事物想到另一事物的心理过程，它是从已经掌握的途径、原则、方法等方面去寻求接近当前问题解决的途径、原则和方法，联想是数学发现和数学解题的一种常用方法． 著名美国数学家波利亚在《怎样解题》一书中，明确提出联想是解题计划的重要一环． 如何让学生学会联想是数学解题教学成功的关键，本文是笔者在日常教学实践中采用的若干联想策略，现提出供大家教学参考！
寻找“题眼”，从概念上联想．
在平时学习中，概念是最重要的基础知识，是思维的细胞，教师强调得多，学生印象深刻． 遇到相关问题时，若能引导学生发现题设中某些与概念相同或相关的字眼，进而联想出蕴涵在概念中的方法，便可迅速打开解题的突破口．
例1（2011 重庆卷 理20题）
如图1，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－，问：是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值． 若存在，求出F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（第Ⅰ问略）
题设中有关键字“两个定点”、“PF1+PF2为定值”，由此联想出动点P的轨迹可能是一个椭圆．
解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
由=+2得x=x1+2x2，y=y1+2y2.
图1
因为M，N都在椭圆x2+2y2=4上，所以x+2y=4，x+2y=4，
故x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2
=（x+2y）+4（x+2y）+4（x1x2+2y1y2）．
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设可得
kOM?kON==－，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20，即动点P在椭圆+=1上运动．
设椭圆两个焦点为F1，F2，则F1（－，0），F2（，0），
由椭圆定义知PF1+PF2为定值，故定点F1，F2存在．
注：本题中若将重点放在寻找定点上，势必会步入误区，而联想椭圆定义，不仅可以找到解题入口，定点也能自然地引出．
观察结构，从模型上联想．
高中数学各模块中存在大量的公式、法则、定理、图形等，它们有着特殊的结构和形式，是数学中重要的模型．我们在分析思考问题过程中一旦发现有与这些模型相同或相似的地方，便可通过联想这些模型以及模型中渗透的结构、形式、特征、方法来尝试解决，并且常常能“化腐朽为神奇”，使解题柳暗花明．
源于：免费毕业论文www.udooo.com
例2（2011 安徽卷 理18题）在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn（n≥1）．
（Ⅰ）求数列｛ａｎ｝通项公式；
（Ⅱ）设bn=tanan?tanan+1，求数列｛bｎ｝的前n项和Sn．
分析?摇 （第（Ⅰ）问题略，an=n+2）
题设中出现tanan?tanan+1结构，容易联想到三角公式：
tan（α±β）=，再变形得
tanαtanβ=1－以及tanαtanβ=－1．
考虑到本题目的是求和，使用前者达不到目的（分母中的角都不同不便求和），因而可以尝试后者．
解?摇 由tanαtanβ=－1得b=tan（n+3）tan（n+2）=－1=－1，进而Sn=b1+b2+b3+…+bn=－n．
注：笔者的同事参加了2011年安徽卷阅卷工作，批阅的正是此题，此题学生丢分非常严重，笔者认为最主要原因就是解题中没有进行适当的联想．
例3 已知四面体ABCD三组对棱分别相等，且AB=a，AC=b，AD=c，求它的体积．
分析 本题中所给条件难以直接与体积发生联系，因而需要转换视角解决，由三组对棱分别相等，容易联想到长方体模型（长方体中前后、左右、上下面对角钱分别相等）．
解?摇 如图2，构造长方体模型
图2
设长方体长、宽、高为x，y，z，
则有x2+y2=b2，y2+z2=c2，z2+x2=a2，
解得x2=，y2=，z2=， 所以x2y2z2=，
从而VA-BCD=V长方体-4VB-ACE=xyz－4××xy×z=xyz=．
注：中学数学模型很多，除以上之外，还有解几、向量、代数模型等．
激活模式，从方法上联想．
模式就是日常数学学习中所习得和积累的各种方法、思想及策略在头脑中的一种固化，一旦在解题中遇到条件类似或题型类似的问题时，通过联想，这种固化模式就会被激活，从而启迪我们用与这种模式类似的方法、思想、策略去解决问题．
例4?摇已知函数f（x）=，求f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012）的值．
分析?摇 本题是求一些函数值的和，由于函数值太多，所以逐一计算是不现实的，只能考虑整体求和，这样容易联想到课本中整体求和的两大方法：倒序相加及错位相减，由于错位相减只适合形如｛aｎ?bｎ｝（其中｛aｎ｝为等差数列，｛bｎ｝为等比数列）数列求和情形，从而倒序相加就值得一试了．解?摇 倒序相加的前提是倒序后对应项之和都相等，由此可以猜想
?摇?摇f（－2011）+f（2012）=f（－2010）+f（2011）=…=定值，
又因为－2011+2012=－2010+2011=…=1，
故我们可以从一般情形着手：f（x）+f（1－x）=定值．
事实上， f（x）+f（1－x）=+=+
摘自：毕业论文格式范文www.udooo.com
=+==.
令S=f（－2011）+f（－2010）+…+f（0）+…+f（2012），
倒过来，S=f（2012）+f（2011）+…+f（1）+…+f（－2011），
相加得：2S=++…++…+（共4024个）
=2012，
所以S=1006．
化难为易，从经验上联想．
所谓数学经验，就是某些知识，某些解题方法以及某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也为我们从反面提供有效的有序组合，因此，在平时教学中让学生多积累多体会解题经验，能为陌生或困难问题的解决提供经验支持．
例5 求证：－+－…+（－1）n-1?=1+++…+（n∈N*）．
分析?摇 此题是笔者给所在学校数学兴趣班学生提供的一道训练题，主要目的是训练数学归纳法中从n=k到n=k+1的递推能力，结果全班学生竟无人证出，其实，从n=k情形如何过渡到n=k+1情形完全可从形n=3到n=4中获得经验：
n=3时，等式为－+=1++，
n=4时，左边=－+－，
=-++-+-．
再往下进行，要想证出，必须让，，变为分母为4的形式，事实上，
=，=，=.
所以左边=1+++－+－
=1+++［C-（C-C+C-C+C）］
=1+++［C-（1-1）4］
=1+++
=右边.
证?摇 ?摇（1）n=1时，等式显然成立．
（2）检测设n=k（k∈N*） 时命题成立，即
－+－…+（－1）k-1=1+++…+.
当n=k+1时，有
－+－…+（－1）k-1+（－1）k
=－+－…+（－1）k-1?+（－1）k?摇?摇?摇?摇?摇
=－+-…+（－1）k-1+-+-…+（-1）k-1+（-1）k?摇
=1+++…++－+－…+（－1）k-1+（－1）k
=1+++…++｛C-［C-C+C-C+…+（-1）kC+（-1）k+1C］｝
=1+++…++［C-（1-1）k+1］
=1+++…++，
故当n=k+1时，等式成立！
由以上（1）（2）知等式对一切n∈N*均成立！
通过以上四个方面联想策略的使用不难看出，联想是寻找解题途径的重要思维方式，联想帮助我们化陌生题为熟悉题，化复杂题为简单题，从而提高解题能力． 因此，教师在日常教学过程中一定要善于引导学生进行联想，只有这样才能切实提高学生联想的有效性，真正实现知识的互联、方法的迁移、思维的发散、经验的提升，真正提高他们分析问题和解决问题的能力．