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摘 要： 最值问题是初中数学的重要内容，学生解题时由于思维不够严密，常出现诸多误区.本文列举了一些常出现错误的例子，并提出了解决的方法.
关键词： 初中数学教学 最值问题 思维误区 知识整合
一
“最值”指变量在某一变化过程中取得的最大值或最小值.在新课标中，最值问题是初中数学的重要内容，在日常生活中有着广泛的应用，如最大利润问题、最大面积问题、最低运费问题等.最值问题包括函数最值问题、不等式最值问题和几何最值问题等；在函数最值问题中，有二次函数最值、一次函数最值和反比例函数最值问题.
对于二次函数y=ax+bx+c，当a>0时，它的图像开口向上，图像存在最低点，二次函数有最小值，最小值是顶点的纵坐标的值；当a<0时，它的图像开口向下，图像存在最高点，最大值是顶点纵坐标的值.因而求二次函数的最值，即求二次函数的顶点的坐标.这样一来，学生在接触大量的二次函数最值问题后，就会形成一种思维定势：解决最值问题，只需建立一个二次函数，求出顶点的坐标，其中顶点的纵坐标就是所求的最值。于是，出现了最值问题的诸多思维误区.
例1：已知二次函数y=x2-2x-3，在2≤
例2：如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上的一个动点，QP⊥AP交CD于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，△ADQ的面积最大？
例3：某报刊销售亭从报社购进某晚报的是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天可以卖出100份，其余10天只能每天卖出60份，但每天报亭从报社的份数必须都相同.若报亭每天从报社报纸的份数为x（份），每月所获得利润为y（元）.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）报亭应该每天从多少份报纸，才能使每月获得利润最大？最大利润是多少？
由题意可建立y与x的函数关系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.学生往往没有注意到自变量的取值范围，认为该函数不存在最值，因而无从下手.事实上由题设可知，自变量的取值范围为60≤x≤100，且x为正整数，由于y随x的增大而增大，故当x取最大数值100时，对应的y值最大，最大利润为580元.
例4：某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经销此贺卡的销售利润为w元，试求w与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
例5：在平面直角坐标系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），点P在y轴上，且PA+PB的值最小，求点P的坐标.
如图，联想在直线上到直线同侧两点距离和最小的点的作法，作出点A关于y轴的对称点A′，求出直线A′B的函数表达式，再求出直线A′B与y轴的交点的坐标即为所求.这里，利用对称性质把PA转化，构造三角形两边和大于第三边的不等模型，当点P落在这一特殊位置上时，PA+PB的值最小.
二
那么，如何引导学生走出最值问题思维的误区呢？下面我谈谈在教学中的做法.
综上可知，通过探索函数最值思维误区及应对策略，既有利于避免出现解答最值问题上的错误，又有利于促进不同知识的整合.在教学中，首先必须让学生熟练掌握用顶点坐标求二次函数最值的方法，通过不同最值问题的比较，形成最值问题解答技巧，提高综合运用知识的能力.
关键词： 初中数学教学 最值问题 思维误区 知识整合
一
“最值”指变量在某一变化过程中取得的最大值或最小值.在新课标中，最值问题是初中数学的重要内容，在日常生活中有着广泛的应用，如最大利润问题、最大面积问题、最低运费问题等.最值问题包括函数最值问题、不等式最值问题和几何最值问题等；在函数最值问题中，有二次函数最值、一次函数最值和反比例函数最值问题.
对于二次函数y=ax+bx+c，当a>0时，它的图像开口向上，图像存在最低点，二次函数有最小值，最小值是顶点的纵坐标的值；当a<0时，它的图像开口向下，图像存在最高点，最大值是顶点纵坐标的值.因而求二次函数的最值，即求二次函数的顶点的坐标.这样一来，学生在接触大量的二次函数最值问题后，就会形成一种思维定势：解决最值问题，只需建立一个二次函数，求出顶点的坐标，其中顶点的纵坐标就是所求的最值。于是，出现了最值问题的诸多思维误区.
(一)忽略了自变量取值范围的限制.
在一个二次函数中，当自变量是全体实数时，顶点的纵坐标是这个函数的最大值或最小值.但当自变量的取值范围不是全体实数时，函数的图像是抛物线的一部分，顶点不一定落在部分的抛物线上.这时，以顶点的纵坐标作为所求的最值就不一定正确了.因此，求二次函数的最值，必须考虑顶点的横坐标是否落在自变量的取值范围内，否则会出现错误的结论.例1：已知二次函数y=x2-2x-3，在2≤
摘自：学年论文www.udooo.com
x≤3的范围内求这个二次函数的最大值或最小值.学生往往会盲目地求出二次函数图像的顶点坐标（1，-4），然后得出结论：因为a>0，所以二次函数有最小值，最小值是-4.这个的结论显然是错误的.其实在2≤x≤3范围内函数的图像在对称轴x=1的右侧，且y随x的增大而增大，故当x取最小数值2时，y的值最小为-3；当x取最大数值3时，y的值最大为0.事实上，在很多实际问题中，自变量往往受实际意义的限制，只能在某一范围内取值.因此，求二次函数的最值必须关注自变量取值范围对最值的影响，当顶点不在自变量取值范围内时，必须利用函数的增减性，以自变量取值范围中端点的函数值确定所求的最值.(二)忽略了a的符号对最值的影响.
在某些问题中，建立起来的二次函数存在某一种最值，但要求的可能是另一种最值，因此不能盲目地用顶点纵坐标求最值，而应根据函数的增减性及自变量的取值范围确定.例2：如图，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上的一个动点，QP⊥AP交CD于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当点P运动到什么位置时，△ADQ的面积最大？
(三)忽略了其他函数在某一条件下存在最值.
在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减少.利用一次函数的增减性质，结合实际问题中自变量的取值范围，可解决有关最大利润、最低运费等的实际问题.例3：某报刊销售亭从报社购进某晚报的是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的退回报社.在一个月内（以30天计算），有20天每天可以卖出100份，其余10天只能每天卖出60份，但每天报亭从报社的份数必须都相同.若报亭每天从报社报纸的份数为x（份），每月所获得利润为y（元）.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）报亭应该每天从多少份报纸，才能使每月获得利润最大？最大利润是多少？
由题意可建立y与x的函数关系：y=0.3（20x+10×60）-0.5×10（x-60），即y=x+480.学生往往没有注意到自变量的取值范围，认为该函数不存在最值，因而无从下手.事实上由题设可知，自变量的取值范围为60≤x≤100，且x为正整数，由于y随x的增大而增大，故当x取最大数值100时，对应的y值最大，最大利润为580元.
例4：某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
（1）根据表中数据猜测并确定y与x之间的函数关系式；
（2）设经销此贺卡的销售利润为w元，试求w与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
例5：在平面直角坐标系中，已知A（-2，-4），B（-1，-2），点P在y轴上，且PA+PB的值最小，求点P的坐标.
如图，联想在直线上到直线同侧两点距离和最小的点的作法，作出点A关于y轴的对称点A′，求出直线A′B的函数表达式，再求出直线A′B与y轴的交点的坐标即为所求.这里，利用对称性质把PA转化，构造三角形两边和大于第三边的不等模型，当点P落在这一特殊位置上时，PA+PB的值最小.
二
那么，如何引导学生走出最值问题思维的误区呢？下面我谈谈在教学中的做法.
(一)引导多方思考，加强知识联系.
最值问题，涉及知识面广，解题方法灵活.出现以上误区，原因之一在于思维定势的负面效应，原因之二在于学生思维比较狭窄.因此，教学中应对一般二次函数的最值问题与其他最值问题进行比较，让学生明确在什么情况下，可直接由二次函数的顶点坐标求最值；什么情况下，需借助函数增减性并利用自变量取值范围求最值；什么情况下，需构造不等模型求最值.对生活中的函数问题、图形中的函数问题，引导学生关注自变量的取值范围，关注函数的增减性，加强相关知识的联系，培养学生思维的广阔性.(二)借图像识增减，提高思维效率.
生活及图形中的函数最值问题，往往与函数自变量取值范围（函数的有界性）及函数的增减性有关，这些从函关系式上理解比较困难，借助图像观察，往往一目了然.因此，在教学中，应通过引导学生对图像的观察，加深对函数有界性和增减性的理解，从中发现函数的变化规律，在加深函数认识的过程中去发现函数的最值，培养学生思维的独创性.(三)通过动态演示，发现不变规律.
对图形中的最值问题，可以利用几何画板等制作动态图形，借助图形的动态演示，引导学生探索图形性质，帮助建立图形中的函数关系，发现新的结论；通过数值自动跟踪及轨迹跟踪.让学生认识函数的有界性及增减性，认识函数的最值，从而激发学生学习兴趣.如在上面的例2中，可用几何画板制作动态图形，让点P运动时，△ADQ的面积随之变化，同时进行数值和轨迹跟踪，让学生通过观察发现，当动点P运动到BC的中点时，在图像上对应于抛物线的最低点，即顶点的坐标，说明顶点并非取得最大值，而是取得最小值.当点P向B运动时，函数的值趋近于8，当P与B重合时函数的值最大，最大值为8.综上可知，通过探索函数最值思维误区及应对策略，既有利于避免出现解答最值问题上的错误，又有利于促进不同知识的整合.在教学中，首先必须让学生熟练掌握用顶点坐标求二次函数最值的方法，通过不同最值问题的比较，形成最值问题解答技巧，提高综合运用知识的能力.