提高学生数学反思能力

学起于思，思源于疑，疑始于反思。这说明有问题才能激发学生探求知识的，才能使他们处于积极的学习状态。而现在很多中学生，通常是人云亦云。没有自己的主见，课堂上不愿回答老师的问题，下课也不爱提问题，好像没有问题，也没有反思习惯，更谈不上有较好的反思能力了。因此，指导学生进行反思，提高学生的思维能力已成为现代教师正在努力的方向。在研究、探索中，我是指导学生对以下几个方面进行反思练习的。

1 对数学概念的反思——学会数学的思考

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。因此对数学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。
以函数为例：
 从逻辑的角度看，函数概念包含定义域、值域、对应法则等，以及单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的函数，这些内容是函数概念的基础，但不是全部。
 从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系。
方程的根可以作为函数的图象与轴交点的横坐标；
不等式的解就是函数的图象在X轴上方或下方的那一部分所对应的横坐标的集合；
数列也就是定义在自然数集合上的函数……
同样的几何内容也与函数有着密切的联系。

2 在选择对比中进行辨析反思

选择题有若干错误选择项，由于错误选择项通常反映了学生知识中的常见错误，具有较

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大的迷惑性，因此学生需要仔细推敲，反复比较，进行辨析反思，从而选择出正确答案。
例1 下列各函数中最小值为6的是
（A）y=3x+3x；
（B）y=x2+2x+4x2（x>0）
（C）y=sinx+9sinx；
（D）Y=X2-4X+10（1≤x≤4）
求（A）、（B）、（C）这三个函数的最值都是学生平时容易出差错的。这一例题可让学生认真辨析平均值不等式最值的条件。从中淘汰错误选择项，而得出正确答案（D）。

3 集体会诊，反思错因，完善自我纠错的能力

学生在解题时，对已知条件未能深入分析，对隐含的条件更是不易察觉，往往容易出错。此时教师不要忙于给出答案，而应指导全班同学共同诊断、反思错因，找出正确的解题方法。
例2 求函数y=2x2-x2的值域
巡视中，我发现学生主要有以下两种错误解法，抄出让全体同学来诊断。
解法1：原函数化为：（y-2x）2=2-x2即5x2-4yx+y2-2=0——（*）
∵x∈R ∴Δ=（-4y）2-4x×5（y2-2）≥0 ∴-10≤y≤10
解法2：由2-x2≥0得 -2≤x≤2
令x=2cosθ则y=22cosθ+2sinθ=10sin（θ+φ）
∴-10≤y≤10
师：请同学们看这两种解法有什么问题？错在哪里？如何更正？
生甲：解法1中有范围限制： -2≤x≤2，用“判别式法”不一定成立，解法2中（θ+φ）的范围也受到限制。
生乙：解法1中依题意有y≥2x，当y=-10代入（*）式时，x=-83，但不满足y≥2x，当y=10当 代入（*）式时，x=83∈[-2，2]且满足y≥2x
。
生丙：在解法2中，令x=2cosθ（0≤θ≤π）则y=10（θ+φ）（其中sinφ=255及cosφ=55不妨设φ=arcsin255则可得
-22≤y≤10。
师：同学们答得很好。在用“判别式法”求函数的值域或最值时，若 的范围受到限制，则所求 值不一定正确，此时一定要认真反思并进行检验。在用三角函数换元变换时，要注意角的范围。

4 在解题过程中注重逆向反思

正难则反，当求解一个问题时，如果无法从正面人手，可转向研究此问题的反面，从相反的方向去思考问题，寻找解题的途径。善于逆向思维是思维灵活的一种表现，注重逆向反思是培养学生创造能力的重要途径。
例3 已知关于x的方程x3-px2-2px+p2-1=0有且只有一个实根，求实数P的取值范围。
分析：按常规考察关于x的三次方程解的情况，由于是高次方程，求解将比较困难，而若将主元x与参数p易位，则会豁然开朗。此时可得关于p的二次方程
p2-（x2+2x）p+x3-1=0即（p-x+1）（p-x2-x-1）=0。解得x=p+1或x2+x+1-p=0因原方程有且只有一个实根，故方程x2+x+1-p=0无解，于是Δ=1-4（1-p）<0即p<34。

5 对解题后进行反思

解完一道题后，应作进一步的思考：题目中所有的条件都用过了吗？用足了吗？（含括号内的条件），题目所要求的问题解决了吗？解题中所引用的知识是否是书中已证过的结论？还有没有需要增加说明和剔除的部分等。
例1. 已知tan（α-β）=12，tanβ=-17且α、β∈（0，π），求2α-β的值。
错解：tan2（α-β）=2tan（α-β）1-tan2（α-β）
=2×121-（12）2=43
tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]
=tna2（α-β）+tanβ1-tan2（α-β）tanβ
=43-171+43·17=1
由α、β∈（0，π），则2α-β∈（-π，2π）
所以2α-β=-3π4，π4，3π4
反思：这是一类典型的错误，主要原因是忽视了范围条件的挖掘与使用。事实上，由
tanβ=-17>-33，知
5π6<β<π；tanα=tan[（α-β）+β]=13<33，知0<α<π6，故2α-β∈（-π，-π2），应取2α-β=-3π4 。

6 对题目实质进行归类反思

数学问题是形式多样的，有些题的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上去，通过这一道题的解决，达到会解一类题，所以解题后要反思题目实质，并进行归类，总结通解通法。
例4 已知关于x的方程sin2x+acosx-2a=0有实数解，求实数a的取值范围。
分析：原题等价于“求函数a=sin2x2-cosx的值域”，易知
a= 1-cos2x2-cosx=4-cos2x-32-cosx
=2+cosx-32-cosx
=-[2-cosx+32-cosx]+4
≤4-23
又2-cosx∈[1，3]，故0≤a≤4-23
再如以下三题：
①若方程x2-ax+2a-1=0在x∈[-1，1]上有实数解，求a的取值范围；
②求函数y=1-x22-x（|x|≤1）的值域；
③实数a为何值时，圆（x+2）2+y2=1与抛物线y2=-ax有交点？（设x+2=cosθ，y=sinθ）
上述三题都围绕着求sin2x2-cosx的值域这一核心题进行变化和延伸的，核心问题解决了，各个问题也就不攻自破了。
反思的方法很多，只要教师注重反思自己的工作，不断总结并付诸实践，一定能帮助学生养成良好的反思习惯，从而较快的提高他们的思维能力。