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《数学新课程标准》明确指出：“由于学生所处的文化环境、家庭背景以及自身的思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的活动。”在一堂《直线和双曲线的位置关系》的习题课上，我深切地体会到学生才是数学课堂的主体，教师要通过引导让学生的奇思妙想更加“光彩夺目”。
一、起源
这是一堂介绍直线和双曲线的位置关系的习题课，我出示了如下例题：
已知双曲线x24－y22=1，问是否存在直线l，使得l被双曲线所截弦的中点是N(1,12)？
下面是本人在实际教学中的部分过程：
[教师]刚才大家是利用点斜式设直线方程，把直线l与双曲线联立，利用根与系数的关系表示出点N(1,12)，进而得到直线l的斜率。当然，我们发现求得的直线l是不符合题意的。利用联立来解决直线和圆锥曲线的位置关系问题是毋庸置疑的。那么我们是否可以用点差法呢？
[学生1]检测设直线l存在，设直线l和双曲线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2
14(x1－x2)(x1+x2)－12(y1－y2)(y1+y2)=0，由题意知，x1+x2=2，y1+y2=1。
代入即得y1－y2x1－x2=1，所以直线l斜率为1，得到直线l方程为y=x－12。
[学生2]不对，刚才用“联立法”的时候发现直线y=x－12与双曲线是没有交点的，所以这里也应该检验一下，应把解出来的直线y=x－12舍去。
[教师引导]对于怎样的问题，我们可以用点差法呢？
[学生3]当与直线和双曲线的交点弦的中点、斜率有关的时候，可以用点差法。
[教师补充]当然，解得的直线方程是要检验是否符合题意的。
[学生4]为什么明明解出了方程为y=x－12的直线l，但它却与双曲线没有交点呢？
听到这里，我大吃一惊，这是我在备课过程中没有想到的问题！不过我还是打算和学生一起探究一下。
[教师]那我们一起来看一下全部的解答过程，这样的方法哪里有可能出现问题呢？
学生开始探究，不一会儿……
[学生5]问题出在作差。只要双曲线方程满足x24－y22=m(m≠0)，那么代入点后，把x124－y122=m与x224－y222=m作差均能得到14(x1－x2)(x1+x2)－12(y1－y2)(y1+y2)=0。
所以把题中的双曲线改成x24－y22=m(m≠0)，即均能计算出直线l方程为y=x－12。
[教师]在所有的双曲线x24－y22=m(m≠0)中，有一部分是和直线l有两个交点的，有一部分是和直线l只有一个交点或者是没有交点的。那么，什么时候双曲线才与直线有两个交点呢？
[学生6]把直线l的方程y=x－12代入x24－y22=m(m≠0)，计算Δ=2－16m，只要Δ>0，即m∈(－
SymboleB@ ,0)∪(0,116)，这些双曲线与直线y=x－12相交的弦的中点都是N(1,12)。其中，当m∈(－
SymboleB@ ,0)时，双曲线的交点落在y轴上，直线y=x－12与双曲线交于两支且相交弦的中点是N(1,12)；当[JP3]m∈(0,116)时，双曲线的交点落在x轴上，直线y=x－12与双曲线交于右支且相交弦的中点是N(1,12)。
（作者单位：江苏省运河中学）
一、起源
这是一堂介绍直线和双曲线的位置关系的习题课，我出示了如下例题：
已知双曲线x24－y22=1，问是否存在直线l，使得l被双曲线所截弦的中点是N(1,12)？
下面是本人在实际教学中的部分过程：
[教师]刚才大家是利用点斜式设直线方程，把直线l与双曲线联立，利用根与系数的关系表示出点N(1,12)，进而得到直线l的斜率。当然，我们发现求得的直线l是不符合题意的。利用联立来解决直线和圆锥曲线的位置关系问题是毋庸置疑的。那么我们是否可以用点差法呢？
[学生1]检测设直线l存在，设直线l和双曲线的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2
摘自：本科论文www.udooo.com
)，分别代入双曲线方程。把两式x124－y122=1，x224－y222=1相减，可以得到：14(x1－x2)(x1+x2)－12(y1－y2)(y1+y2)=0，由题意知，x1+x2=2，y1+y2=1。
代入即得y1－y2x1－x2=1，所以直线l斜率为1，得到直线l方程为y=x－12。
[学生2]不对，刚才用“联立法”的时候发现直线y=x－12与双曲线是没有交点的，所以这里也应该检验一下，应把解出来的直线y=x－12舍去。
[教师引导]对于怎样的问题，我们可以用点差法呢？
[学生3]当与直线和双曲线的交点弦的中点、斜率有关的时候，可以用点差法。
[教师补充]当然，解得的直线方程是要检验是否符合题意的。
二、疑惑——探究
就在我以为问题得以圆满解决的时候，有学生提出了疑问。[学生4]为什么明明解出了方程为y=x－12的直线l，但它却与双曲线没有交点呢？
听到这里，我大吃一惊，这是我在备课过程中没有想到的问题！不过我还是打算和学生一起探究一下。
[教师]那我们一起来看一下全部的解答过程，这样的方法哪里有可能出现问题呢？
学生开始探究，不一会儿……
[学生5]问题出在作差。只要双曲线方程满足x24－y22=m(m≠0)，那么代入点后，把x124－y122=m与x224－y222=m作差均能得到14(x1－x2)(x1+x2)－12(y1－y2)(y1+y2)=0。
所以把题中的双曲线改成x24－y22=m(m≠0)，即均能计算出直线l方程为y=x－12。
[教师]在所有的双曲线x24－y22=m(m≠0)中，有一部分是和直线l有两个交点的，有一部分是和直线l只有一个交点或者是没有交点的。那么，什么时候双曲线才与直线有两个交点呢？
[学生6]把直线l的方程y=x－12代入x24－y22=m(m≠0)，计算Δ=2－16m，只要Δ>0，即m∈(－
SymboleB@ ,0)∪(0,116)，这些双曲线与直线y=x－12相交的弦的中点都是N(1,12)。其中，当m∈(－
SymboleB@ ,0)时，双曲线的交点落在y轴上，直线y=x－12与双曲线交于两支且相交弦的中点是N(1,12)；当[JP3]m∈(0,116)时，双曲线的交点落在x轴上，直线y=x－12与双曲线交于右支且相交弦的中点是N(1,12)。
三、几点课后反思
1.数学问题的选择要有启发性、探究性和开放性
玻利维亚说：“好问题与蘑菇有类似的结论，大多成堆地生长，找到一个以后，你应该在周围找一找，很可能在附近就有几个。”用一个有意义的但不太复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。总之，问题的设计，要注重策略，应竭力点燃学生思维的火花，激发他们的求知，并有意识地为他们解决问题提供桥梁和阶梯，引导他们逐步掌握全新的知识和能力。2.教师要引导学生探究自己的奇思妙想，更要让学生的奇思妙想“光彩夺目”
著名的教育家陶行知先生说：“处处为创造之地，时时为创造之时，人人为创造之人。”在教学过程中，教师要相信学生的能力，让学生讲，让学生讨论，可谓讨论中，问题灰飞烟灭，讨论中，学生信心倍增。教师不应该是知识的呈现者和知识权威的象征，而应该本着教学相长的思想，耐心倾听学生的思考过程，因为只有“求异”，才会有创新，学生的“奇怪想法”很有可能就是一种“巧解”，或许蕴藏着创新的思维、智慧的火花。对学生的独特思维，要进行适当的评价，要多加鼓励，通过适当的评价去唤醒学生的创新潜能，去鼓舞学生的创新志向，最终实现他们的自我价值。（作者单位：江苏省运河中学）