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摘要：中学数学中几何证明与计算是数学学科中的主要部分，在中考中占有较大的比例，在中学数学学习中也是一个难点，特别是涉及辅助线的作法，更是中学生头痛的问题，这就需要教师在平时的教学中加强训练，以提高学生的解题能力。
关键词：数学证明；辅助线；解题方法
梯形是人教版八年级下册内容，本节内容是四边形一章中的特殊四边形，在每年的中考中占有一定的比例，而学生在有关梯形的证明中，往往对于辅助线的作法感到很困难，下面笔者就在教学中碰到的关于梯形辅助线的作法的例题谈谈自己的见解。
例1.如图1-1已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AG⊥BC于G，EF是梯形的中位线，对角线AC、BD交于O，且AC⊥BD，求证：EF=AG。
图1-1 图1-2 图1-3
证明：
方法一：如图1-2所示过D作DH∥AC交BC的延长线于H，则四边形ACHD为平行四边形，∴AD=CH，AC=DH（平行四边形对边相等）。又∵EF是中位线，∴（梯形的中位线等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，DH∥AC，AB=DC，∴∠BDH=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。
方法二：如图1-3所示过A作AM∥BD交CB的延长线于M，则四边形AMBD为平行四边形，∴AD=MB，AM=DB，AB=DC（平行四边形对边相等）。又∵EF是中位线，∴（梯形的中位线等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，AM∥BD，∴∠MAC=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。
分析：解决梯形相关问题，常用的辅助线有：（1）平移一腰，即从梯形的一个顶点做另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图①所示。
图① 图② 图③
图④ 图⑤ 图⑥ 图⑦
（2）过顶点作高，即从同一底的两端做另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形，如图②所示。（3）平移一条对角线，即从梯形的一个顶点做一条对角线的平行线，把梯形转化成一个平行四边形和三角形如图③所示。（4）延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形，如图④所示。（5）过一腰的中线做辅助线：a.过次中点做另一腰的平行线，梯形转化成平行四边形，如图⑤所示。b.连接一底的端点与一腰的中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形，如图⑥所示。（6）有底的中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，如图⑦所示。
例2.如图2-1所示在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F在AB上，连接CE、DF，EC与DF相交于O，且OE=OF
图2-1 图2-2
证明：
方法一：如图2-1，平移EC，使C到D点连接MA，∵AB∥CD，∴四边形CDME是平行四边形，∴DM=CE、∠M=∠CEB（两直线平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角对等边），∴∠M=∠DFM，∴DM=DF（等角对等边），∴CE=DF。
方法二：如图2-2，平移DF，使D到C点连接BN，∵AB∥CD，∴四边形CDFN是平行四边形，∴DF=CN、∠N=∠DFA（两直线平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角对等边），∴∠N=∠CEF， ∴CE=CN（等角对等边），∴CE=DF。
例3.如图3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B已2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点A、C同时出发，求移动时间为多少时，梯形ABCD为等腰梯形？
分析：由于AD∥BC，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形PQCD是等腰梯形，则可以从QN=MC中得到解决，特别需要注意的P、Q的运动方向是相反的。
解：设移动时间为ts时，P、Q运动到如图3的位置，梯形PQCD是等腰梯形，则PQ=DC。过点P做PN⊥BC于N，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，∴PN=DM，∴QN=MC=BC-BM=BC-AD=21-18=3（cm）。
又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21，∴3t-21=3，即t=8。
∴移动时间为8s时，梯形ABCD为等腰梯形。
因此，在有关梯形的证明和计算中，通常都是把梯形通过作辅助线和平移的形式，转化成三角形、矩形、平行四边形来解决问题，通过对辅助线作法的总结，学生就能够很快掌握有关梯形的证明与计算。可见，在学习过程中，学生还需要做大量的练习，才能够熟练掌握梯形辅助线的作法以及辅助线在梯形几何证明和计算中的正确应用。
参考文献：
关键词：数学证明；辅助线；解题方法
梯形是人教版八年级下册内容，本节内容是四边形一章中的特殊四边形，在每年的中考中占有一定的比例，而学生在有关梯形的证明中，往往对于辅助线的作法感到很困难，下面笔者就在教学中碰到的关于梯形辅助线的作法的例题谈谈自己的见解。
例1.如图1-1已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AG⊥BC于G，EF是梯形的中位线，对角线AC、BD交于O，且AC⊥BD，求证：EF=AG。
图1-1 图1-2 图1-3
证明：
方法一：如图1-2所示过D作DH∥AC交BC的延长线于H，则四边形ACHD为平行四边形，∴AD=CH，AC=DH（平行四边形对边相等）。又∵EF是中位线，∴（梯形的中位线等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，DH∥AC，AB=DC，∴∠BDH=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。
方法二：如图1-3所示过A作AM∥BD交CB的延长线于M，则四边形AMBD为平行四边形，∴AD=MB，AM=DB，AB=DC（平行四边形对边相等）。又∵EF是中位线，∴（梯形的中位线等于上下底之和的一半）。又∵AC⊥BD，AM∥BD，∴∠MAC=90°。∵AG⊥BC于G，∴，∴EF=AG。
分析：解决梯形相关问题，常用的辅助线有：（1）平移一腰，即从梯形的一个顶点做另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，如图①所示。
图① 图② 图③
图④ 图⑤ 图⑥ 图⑦
（2）过顶点作高，即从同一底的两端做另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形，如图②所示。（3）平移一条对角线，即从梯形的一个顶点做一条对角线的平行线，把梯形转化成一个平行四边形和三角形如图③所示。（4）延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形，如图④所示。（5）过一腰的中线做辅助线：a.过次中点做另一腰的平行线，梯形转化成平行四边形，如图⑤所示。b.连接一底的端点与一腰的中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形，如图⑥所示。（6）有底的中点做两腰的平行线，把梯形转化成两个平行四边形和一个三角形，如图⑦所示。
例2.如图2-1所示在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F在AB上，连接CE、DF，EC与DF相交于O，且OE=OF
源于：论文如何写www.udooo.com
求证：CE=DF。图2-1 图2-2
证明：
方法一：如图2-1，平移EC，使C到D点连接MA，∵AB∥CD，∴四边形CDME是平行四边形，∴DM=CE、∠M=∠CEB（两直线平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角对等边），∴∠M=∠DFM，∴DM=DF（等角对等边），∴CE=DF。
方法二：如图2-2，平移DF，使D到C点连接BN，∵AB∥CD，∴四边形CDFN是平行四边形，∴DF=CN、∠N=∠DFA（两直线平行同位角相等）。又∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE（等角对等边），∴∠N=∠CEF， ∴CE=CN（等角对等边），∴CE=DF。
例3.如图3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B已2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从点A、C同时出发，求移动时间为多少时，梯形ABCD为等腰梯形？
分析：由于AD∥BC，等腰梯形是轴对称图形，要说明四边形PQCD是等腰梯形，则可以从QN=MC中得到解决，特别需要注意的P、Q的运动方向是相反的。
解：设移动时间为ts时，P、Q运动到如图3的位置，梯形PQCD是等腰梯形，则PQ=DC。过点P做PN⊥BC于N，过点D作DM⊥BC于M，∵AD∥BC，∴PN=DM，∴QN=MC=BC-BM=BC-AD=21-18=3（cm）。
又∵QN=BN-BQ=AP-BQ=t-（21-2t）=3t-21，∴3t-21=3，即t=8。
∴移动时间为8s时，梯形ABCD为等腰梯形。
因此，在有关梯形的证明和计算中，通常都是把梯形通过作辅助线和平移的形式，转化成三角形、矩形、平行四边形来解决问题，通过对辅助线作法的总结，学生就能够很快掌握有关梯形的证明与计算。可见，在学习过程中，学生还需要做大量的练习，才能够熟练掌握梯形辅助线的作法以及辅助线在梯形几何证明和计算中的正确应用。
参考文献：