关于狭义相对论关于一道狭义相对论理由

摘 要： 本文通过对一道狭义相对论问题的分析，总结出圆与椭圆的一种奇妙变换关系，同时指出培养学生直觉推测与严谨分析相结合的思维方式在教学中的重要作用.
关键词： 狭义相对论 椭圆 圆 直觉推测

一、问题的提出

在《大学物理》课程的教学过程中，关于狭义相对论时空观的教学既是一个重点又是一个难点，尤其是长度的收缩效应.笔者在教学实践中发现，部分学生没有真正地理解时间间隔和空间间隔的相对性，只是机械地应用相关结论，有的甚至不顾条件的乱用，以致得出错误的结论.从而如何引导学生理解和应用狭义相对论一直是大学物理教师经常探究的一个课题.
下面拟从一道典型的例题入手，讨论如何正确理解及应用狭义相对论时空观，同时指出培养学生直觉思考与严谨分析在教学过程中的重要性.
例题：S系中xoy平面上静止的圆面积为πr，在S′系中测得该图形面积为多少？已知S′系在t=t′=0时与S系坐标轴重合，并以0.8c的速度沿公共轴x-x′运动.
一部分学生在解决这道题时，根本没有正确理解狭义相对论时空观，机械地应用长度收缩效应公式l=l，代入β=得出s=0.36πr的错误结论；还有一部分学生正确理解了狭义相对论时空观，他们知道长度的收缩效应只发生在运动方向上，但是因数学工具掌握得不够而望题兴叹，另一部分学生直觉地将该图形视为椭圆，不严谨得出s=0.6πr的结论.下面我们将以科学直觉与严谨分析相结合的方式阐述这道例题.

二、问题的解决

1.直觉分析，所谓的直觉，就是通过对问题的深入分析，进而推测其可能具有某种相应的结论：如图1所示，由狭义相对论的收缩效应可知，在运动参照系中该圆沿x轴方向的任意弦长均缩短为原来长度的=0.6倍，而y轴方向因与运动方向垂直而长度不变，凭直觉推测该圆在运动坐标系中看应该变换为长轴在y轴长度为2r，短轴在x轴长度为1.2r的椭圆，进而由椭圆面积公式s=πab得出s=0.6πr.虽然该结果只是推测，其正确与否尚需验证，但是学生必须培养这种思考问题解决问题的良好习惯，因为直觉才是引导人去发现创新的源泉.
图1

2.严谨计算：

如图2所示，由狭义相对论知道，x轴方向的任意弦长度变为原来的0.6倍，纵坐标为h的弦长度极坐标表达式为1.2rcosθ，纵坐标h的极坐标表达式为rsinθ，故该图形面积的微元ds=1.2rcosθd（rsinθ）=1.2rcosθdθ，θ是-到区间上的变元，由微积分得s=？蘩1.2rcosθd=0.6πr，至此我们发现直觉推测的计算结果是正确的，所以我们上面的直觉推测可能是正确的，但须给出证明.
图2
3.证明：如图2所示，由狭义相对论可知，该图形上的任意一点，设其纵坐标y=h时，则横坐标x=0.6，该点到（0，±0.8r）两点距离之和为+，整理可得：==r-0.8h，同理可得==r+0.8h，即该图形上任一点到（0，±0.8r）两点距离之和等于2r，进而可知该图形为椭圆，验证了我们的直觉推测.
4.总结椭圆与圆的变换关系：由上述分析计算可知，当圆上任一点变换为y轴坐标不变，x轴坐标变为原来的α倍的点所形成的图形是长轴在y轴短轴在x轴离心率为β的椭圆，其中0<α<1，α+β=1.
图3
下面给予证明：如图3所示，半径为r的圆上任一点坐标为（，h）变换为（α，h），该点到（0，±βr）两点距离和为+，其中α+β=1，则该点到（0，βr）距离为==r-βh，到（0，-βr）的距离为==r+βh，即该图形上任一点到（0，±βr）两点距离之和为2r，故该图形是椭圆.由圆的对称性可知，当x轴坐标不变，y轴坐标变为原来的α倍的点所得的图形是长轴在x轴短轴在y轴离心率为β的椭圆.此外进一步分析可知，当

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α>1时则不能变换为长轴在x轴的椭圆.
三、结语
通过上述具体示例我们不仅发现了一个圆与椭圆的特殊关系，而且知道了正确理解狭义相对论时空观及正确应用长度收缩效应公式在物理教学过程中颇为重要，同时指出培养学生的严谨分析和科学直觉的思维习惯十分重要.
参考文献：
杨建华等主编.大学物理（上）[M].苏州：苏州大学出版社，2009：99-100.
基金项目：数学天元青年基金项目（11226116）；南通大学引进人才项目（03080454）。