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纵观每年的高考试卷，我们都可以发现许多“似曾相识”的题，其实，他们都是从课本上的习题变式而来。那么，怎样进行课本习题的变式教学呢？这是我们每个数学教师必须认真思考的问题，下面我将与大家一起来就习题变式教学谈谈自己的看法。
原题：已知向量■，■，求作向量■，使■+■+■=0.表示■，■，■的有向线段能构成三角形吗？
分析：如图1，设■=■，■=■，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知■+■=■，即■=■.显然，当■，■不共线时，表示■，■，■的有向线段能构成三角形。
变式1：如图2，已知向量■，■，■满足条件■+■+■=■，则点M是ΔABC的_____心（选填“内”“外”“重”“垂”）。
分析：
方法1：以MB，MC为邻边作平行四边形MBDC，设平行四边形MBDC的对角线MD、BC交于点E，则E为BC的中点，由■+■=■=2■，由■+■+■=■得■+■=-■，即■=-2■，所以M，A，E三点共线，且■=2■，所以M点是ΔABC的重心。
方法2：以M为坐标原点建立平面直角坐标系，设A（x1，y1）、 B（x2，y2）、C（x3，y3），则■（x1，y1）， ■（x2，y2），■（x3，y3），由■+■+■=■得（x1+x2+x3， y1+y2+y3）=（0， 0），所以点M可表示为（■，■），即点M是ΔABC的重心。
变式2：设P是平面ABC内任意一点，若■=■（■+■+■），则G是ΔABC的___心（选填“内”“外”“重”“垂”）。
分析：由■=■（■+■+■）可知■+■+■-3■=■，即（■-■）+（■-■）+（■-■）=■，即■+■+■=■。
由变式1可知，G是ΔABC的重心。
变式意图：与原题相比，变式1是在ΔABC中根据条件■+■+■=■来研究点M的性质，其本质还是运用向量加法的平行四边形法则，并未发生大的改变，但创设ΔABC这个新的情境，就可以利用坐标法来解决问题。变式2在变式1的基础上再次变换了新情境，要求学生适当变形，灵活处理，拓宽了学生的思维，使得学生思维的灵活性得到提高。
变式4：已知向量■，■，■满足条件■+■+■=■，且■·■=■·■=■·■，求证：ΔP■P■P■是正三角形。
变式意图：变式2和变式3都是在变式1的基础上增加一个条件，考查了学生对三角形的重心、外心和垂心的掌握情况，题目的难度层层递增，符合学生的思维方式，提高了学生思维的创造性。
变式5：设M是ΔABC的重心，则■+■+■=_______。
变式6：若ΔP■P■P■是正三角形， 向量■，■，■满足条件■+■+■=1，求证：■+■+■=■。
变式7：已知向量■，■，■两两所成的角相等，且满足■+■+■=1，求证：■+■+■=■。
变式意图：变式5是变式1的逆运算，变式6和变式7都是变式3逆运算.针对这几个问题，我们要引导学生变换思维的角度，运用数形结合的思想来解决问题，使得学生对数学知识有一个全方位、多角度的认识，提高了学生思维的发散性。
著名的教育家波利亚曾说过“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”由此看出，在数学教学中，教师应该有意识地引导学生研究课本中的一些典型问题，通过创设新情境、增加新条件、变换新角度等多种途径，挖掘习题潜在的数学价值，同时，通过变式教学有利于培养学生的思维的灵活性、创造性、发散性，有益于培养学生的应变能力和独立思考问题、解决问题的能力.当然，变式要做到“源于课本，高于课本”，更要注意恰当合理、循序渐进、紧扣考纲，只有这样，才能即减轻了学生的负担，又提高了高考复习效果。
责任编辑徐国坚
1. 变式教学的目的
高中数学学习的内容跨度大、抽象性强，只有促进高中生对数学知识的深刻理解，才能达到掌握和灵活运用数学知识的目的。在数学学习中，教师通过变式教学，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可行的系列，帮助学生在问题的解答过程中去寻找解此类问题的思路和方法，有意识地展现教学过程中教师与学生数学思维活动的过程，充分调动学生学习的积极性，培养学生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识以及创造性的逻辑思维方式。同时，通过变式教学，学生不需要做大量地、重复地同一种题型的练习，减轻了学生的学业负担，提高了学习效率。2. 变式教学的方法
叶圣陶先生曾说：“教材只能作为教课的依据，要教得好，使学生受到实益，还要靠教师的善于运用”。教材是教学的重要资源，课本中的每一个例题和习题都是经过“千锤百炼”的，有很高的教育价值，因此在教学中我们要精心设计和挖掘课本的例题和习题，编制一题多变、一题多解、一题多用和多题一解，以提高学生灵活运用知识的能力。下面以课本《数学》必修4第91页的第6题为例，谈谈习题变式教学的方法。原题：已知向量■，■，求作向量■，使■+■+■=0.表示■，■，■的有向线段能构成三角形吗？
分析：如图1，设■=■，■=■，以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知■+■=■，即■=■.显然，当■，■不共线时，表示■，■，■的有向线段能构成三角形。
2.1 创设新情境，培养学生思维的灵活性
创设新情境是指把条件放在一些特殊的情境中，使问题得以深化.而且，在新的情境中，解决问题的方法不仅仅拘泥于原题的方法，这就要求学生有扎实的基础，有变通的能力，培养了学生思维的灵活性。变式1：如图2，已知向量■，■，■满足条件■+■+■=■，则点M是ΔABC的_____心（选填“内”“外”“重”“垂”）。
分析：
方法1：以MB，MC为邻边作平行四边形MBDC，设平行四边形MBDC的对角线MD、BC交于点E，则E为BC的中点，由■+■=■=2■，由■+■+■=■得■+■=-■，即■=-2■，所以M，A，E三点共线，且■=2■，所以M点是ΔABC的重心。
方法2：以M为坐标原点建立平面直角坐标系，设A（x1，y1）、 B（x2，y2）、C（x3，y3），则■（x1，y1）， ■（x2，y2），■（x3，y3），由■+■+■=■得（x1+x2+x3， y1+y2+y3）=（0， 0），所以点M可表示为（■，■），即点M是ΔABC的重心。
变式2：设P是平面ABC内任意一点，若■=■（■+■+■），则G是ΔABC的___心（选填“内”“外”“重”“垂”）。
分析：由■=■（■+■+■）可知■+■+■-3■=■，即（■-■）+（■-■）+（■-■）=■，即■+■+■=■。
由变式1可知，G是ΔABC的重心。
变式意图：与原题相比，变式1是在ΔABC中根据条件■+■+■=■来研究点M的性质，其本质还是运用向量加法的平行四边形法则，并未发生大的改变，但创设ΔABC这个新的情境，就可以利用坐标法来解决问题。变式2在变式1的基础上再次变换了新情境，要求学生适当变形，灵活处理，拓宽了学生的思维，使得学生思维的灵活性得到提高。
2.2 增加新条件，培养学生思维的创造性
增加新条件是指在原题的基础上，增加更多的限制性条件，使题目的难度层层递增，这要求学生在深层次地理解原题的解题思路上，拓展思维，举一反三、培养了学生思维的创造性。
变式3：已知向量■，■，■满足条件■+■+■=■，■+■+■=1，求证：ΔP■P■P■是正三角形。（必修4第120页复习参考题（B组）第5题）变式4：已知向量■，■，■满足条件■+■+■=■，且■·■=■·■=■·■，求证：ΔP■P■P■是正三角形。
变式意图：变式2和变式3都是在变式1的基础上增加一个条件，考查了学生对三角形的重心、外心和垂心的掌握情况，题目的难度层层递增，符合学生的思维方式，提高了学生思维的创造性。
2.3 变换新角度，培养学生思维的发散性
变换新角度是指把原题的条件和结论变动和加深，但知识点不源于：毕业设计论文格式www.udooo.com
离开原题的范围。这要求学生在掌握原题的基础上，能够发散思维，能够逆向地去考查问题，分析问题，培养了学生思维的发散性。变式5：设M是ΔABC的重心，则■+■+■=_______。
变式6：若ΔP■P■P■是正三角形， 向量■，■，■满足条件■+■+■=1，求证：■+■+■=■。
变式7：已知向量■，■，■两两所成的角相等，且满足■+■+■=1，求证：■+■+■=■。
变式意图：变式5是变式1的逆运算，变式6和变式7都是变式3逆运算.针对这几个问题，我们要引导学生变换思维的角度，运用数形结合的思想来解决问题，使得学生对数学知识有一个全方位、多角度的认识，提高了学生思维的发散性。
3. 变式教学的价值
通过变式教学，引导学生在认识事物本质属性的过程中，不断变更事物的非本质属性，不断产生新的问题情境，诱发学生在不同的条件下，从不同的角度去思考问题，克服思维定势的不足，突破旧的思维模式.因此，在高三复习课中，教师要从不同角度、不同侧面、不同背景来进行变式教学，把学生的思维引向新的高度，从而让学生面对高考题有种“似曾相识”的熟悉感，提高了高三的复习效果。著名的教育家波利亚曾说过“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个.”由此看出，在数学教学中，教师应该有意识地引导学生研究课本中的一些典型问题，通过创设新情境、增加新条件、变换新角度等多种途径，挖掘习题潜在的数学价值，同时，通过变式教学有利于培养学生的思维的灵活性、创造性、发散性，有益于培养学生的应变能力和独立思考问题、解决问题的能力.当然，变式要做到“源于课本，高于课本”，更要注意恰当合理、循序渐进、紧扣考纲，只有这样，才能即减轻了学生的负担，又提高了高考复习效果。
责任编辑徐国坚